Résoudre une équation exponentielle avec changement de variable
Énoncé
Résoudre dans R l'équation :
[formule]
Indice : Effectue un changement de variable en posant X = e^x. Tu obtiendras une équation du second degré en X.
Correction
- Étape 1 : Un second degré déguisé : l'équation contient e^{2x} et e^x, ce qui est le signal du changement de variable.
Le changement de variable :
On pose X = e^x. Alors e^{2x} = (e^x)^2 = X^2, et X > 0 nécessairement.
👉 L'égalité e^{2x} = X^2 est le cœur du procédé, et elle repose sur (e^a)^n = e^{an} lue à l'envers.
⚠️ e^{2x} n'est PAS 2e^x — c'est un carré, pas un double. La confusion fait rater tout l'exercice, et elle est d'autant plus tentante que l'écriture s'y prête.
⚠️ Et la contrainte X > 0 n'est pas décorative : une racine négative du trinôme ne donnerait aucune solution.
- Étape 2 : Avec X = e^x, l'équation e^{2x} - 5e^x + 6 = 0 devient un trinôme ordinaire :
[formule]
= 25 - 24 = 1, = 1
X_1 = 5-1{2} = 2 et X_2 = 5+1{2} = 3
Contrôle de la contrainte : 2 > 0 ✓ et 3 > 0 ✓ — les deux racines sont acceptables.
X^2 - 5X + 6 = 0 X \{2\,;3\}
- Étape 3 : Le retour à x — l'étape qu'on oublie après avoir résolu le trinôme :
e^x = 2 x = 2
e^x = 3 x = 3
[formule]
ℹ️ Numériquement, 2 0{,}69 et 3 1{,}10.
Vérification sur la première : x = 2 donne e^x = 2 et e^{2x} = (e^x)^2 = 4, donc
4 - 5 2 + 6 = 4 - 10 + 6 = 0 ✓
👉 Le changement de variable rend la vérification facile : on n'a jamais besoin d'une valeur décimale, tout se fait avec e^{ k} = k.
S = \{ 2\,; 3\}
- Étape 4 : L'erreur classique :
Répondre S = \{2\,;3\} — c'est-à-dire s'arrêter aux valeurs de X.
X n'est pas l'inconnue : c'est e^x. Il reste à résoudre e^x = 2 et e^x = 3. L'oubli est d'autant plus facile que le trinôme donne des entiers, qui ressemblent à des réponses finies.
👉 Second piège : écrire e^{2x} = 2e^x. Contrôle immédiat en x = 1 : e^2 7{,}39 contre 2e 5{,}44. Deux nombres différents.
À retenir :
e^{2x} et e^x dans la même équation poser X = e^x, avec X > 0.
👉 Et toujours revenir à x : chaque X positif donne x = X.