Déterminer les limites simples de l'exponentielle

Énoncé

Déterminer les limites suivantes : a) _{x +} e^x b) _{x -} e^x c) _{x +} e^{-x}

Indice : Rappelle-toi : _{x +} e^x = + et _{x -} e^x = 0. Pour e^{-x}, pense que -x - quand x +.

Correction

1. Étape 1 : Les trois limites de référence, et il faut les connaître par cœur : tout le reste du chapitre s'y ramène. Limites de l'exponentielle : [formule] 👉 L'asymétrie est frappante : d'un côté l'exponentielle explose, de l'autre elle s'écrase vers 0 sans jamais l'atteindre. La droite y = 0 est donc asymptote horizontale en -. ⚠️ Et pour e^{-x}, on ne dispose pas d'une formule séparée : on regarde ce que fait l'exposant, et l'on applique les limites de référence. C'est le mécanisme de la question c).
2. Étape 2 : a) _{x +} e^x = + b) _{x -} e^x = 0 👉 Ce que cela signifie graphiquement : la courbe part de très près de l'axe des abscisses à gauche (sans jamais le toucher), traverse le point (0\,;1), puis monte de plus en plus vite à droite. ℹ️ Et e^x ne s'annule jamais — la limite est 0, ce qui n'est pas la même chose que « vaut 0 ». C'est précisément ce qui autorise à diviser par e^x sans précaution dans toute la suite du chapitre.

   _{+} e^x = + \ ; _{-} e^x = 0

3. Étape 3 : c) _{x +} e^{-x} : on regarde l'exposant. Quand x +, l'exposant -x -. On pose t = -x, qui tend vers -, et l'on applique la limite b) : [formule] 👉 Le raisonnement en une phrase : « l'exposant part vers -, donc l'exponentielle tend vers 0 ». Il vaut pour n'importe quelle expression en exposant — e^{-2x}, e^{-x^2}, e^{1-x} tendent tous vers 0 en + pour la même raison. ℹ️ On peut aussi écrire e^{-x} = 1{e^x}, et voir que le dénominateur explose : le quotient tend vers 0. Les deux raisonnements sont corrects.

   _{x +} e^{-x} = 0

4. Étape 4 : L'erreur classique : Écrire _{x -} e^x = -. Une exponentielle est toujours positive : elle ne peut pas tendre vers -. Ce qui tend vers -, c'est l'exposant — et une exponentielle d'exposant très négatif est un nombre très petit et positif. 👉 Le repère chiffré : e^{-10} 0{,}000045. Petit, oui ; négatif, jamais. À retenir : e^x + en +, e^x 0 en - — et jamais de valeur négative. 👉 Et pour toute exponentielle composée : regarder où part l'exposant, puis appliquer ces deux limites.