Calculer la dérivée d'une fonction exponentielle simple

Énoncé

Déterminer la dérivée de la fonction f définie sur R par : [formule]

Indice : La dérivée de e^{u(x)} est u'(x) e^{u(x)}. Ici, u(x) = 3x, donc u'(x) = 3.

Correction

1. Étape 1 : Une composée, et la formule qui la dérive. Dériver une exponentielle composée : [formule] 👉 L'exponentielle est conservée à l'identique, et seul le facteur u' vient devant. C'est la traduction de la propriété fondamentale : e^x est sa propre dérivée. Trois lignes séparées : 1. poser u ; 2. calculer u' ; 3. appliquer. ⚠️ Le facteur u' est ce qu'on oublie — et l'oubli ne se voit pas, puisque le résultat garde la bonne forme.
2. Étape 2 : Ligne 1 — f(x) = e^{u(x)} avec u(x) = 3x. Ligne 2 — u'(x) = 3 (la dérivée d'une fonction affine est son coefficient). Ligne 3 — on applique : [formule] 👉 Cas général à retenir : (e^{kx})' = k\,e^{kx}. Dériver une exponentielle affine revient à multiplier par le coefficient de x.

   f'(x) = 3e^{3x}

3. Étape 3 : Ce que la dérivée apprend. e^{3x} > 0 toujours, et 3 > 0 : [formule] f est strictement croissante sur R — ce qui était prévisible, puisque l'exposant 3x croît et que est croissante. 👉 Une propriété remarquable : f' = 3f. La dérivée est proportionnelle à la fonction elle-même, avec un coefficient égal au taux 3. C'est exactement la propriété qui définit les phénomènes de croissance exponentielle : *plus il y en a, plus ça augmente vite, et dans la même proportion*. On la retrouvera dans les équations différentielles.

   f'(x) = 3f(x)

4. Étape 4 : L'erreur classique : Oublier le 3, et écrire f'(x) = e^{3x}. Le contrôle : dériver e^{kx} doit toujours faire apparaître le facteur k. Si la dérivée ressemble trait pour trait à la fonction, c'est qu'un facteur manque — sauf pour e^x lui-même, où k = 1. 👉 Second piège : « dériver l'exposant » en écrivant e^3. L'exposant reste intact ; c'est sa dérivée qui apparaît en facteur. À retenir : (e^{kx})' = k\,e^{kx} — multiplier par le coefficient de x. 👉 Et la dérivée reste proportionnelle à la fonction : c'est la signature de l'exponentielle.