Résoudre une équation exponentielle simple

Énoncé

Résoudre dans R l'équation : [formule]

Indice : Si e^a = e^b, alors a = b car la fonction exponentielle est strictement croissante.

Correction

1. Étape 1 : Une équation en e se résout sans domaine à calculer — c'est ce qui la distingue des équations en . est strictement croissante sur R : [formule] 👉 Pourquoi cette équivalence ? Parce qu'une fonction strictement croissante ne prend jamais deux fois la même valeur : si A B, alors e^A e^B. On peut donc « enlever les exponentielles » sans rien perdre. ⚠️ Et e^x existe pour tout réel : aucune condition d'existence, contrairement à qui exige un argument positif.
2. Étape 2 : L'équation e^{2x} = e^5 est de la forme e^A = e^B. Par croissance stricte : 2x = 5 [formule]

   x = 5{2}

3. Étape 3 : La vérification, qui prend cinq secondes : e^{2 5{2}} = e^{5} ✓ [formule] 👉 On laisse la réponse sous forme de fraction exacte. 5{2} et 2{,}5 sont ici équivalents, mais l'habitude de la forme exacte protège des cas où le résultat est 1{3} ou 2 — qu'on ne peut pas écrire en décimal sans perdre de la précision. ℹ️ Et l'ensemble solution s'écrit avec des accolades : S = \{5{2}\}, pas S = 5{2}. Une solution est un élément, l'ensemble des solutions est une collection.

   S = \{5{2}\}

4. Étape 4 : L'erreur classique : Chercher un domaine de définition, par analogie avec les équations en . e^x est définie sur R tout entier : il n'y a rien à exclure. La contrainte s'est déplacée sur le second membre — c'est e^A = k qui exige k > 0, et ici le second membre est e^5, donc positif par construction. 👉 Résumé des deux fonctions : | | domaine | contrainte | |:---|:---|:---| | (A) = k | il faut A > 0 | aucune sur k | | e^A = k | aucune sur A | il faut k > 0 | À retenir : e^A = e^B A = B, sans condition. 👉 Et l'exponentielle et le logarithme ont des contraintes symétriques : l'une sur l'argument, l'autre sur le résultat.