Simplifier des expressions avec exponentielles

Énoncé

Simplifier les expressions suivantes : a) e^{3x} e^{2x} b) e^{5x}{e^{2x}} c) (e^x)^3 d) e^{2x + 3}

Indice : Utilise les propriétés : e^a e^b = e^{a+b}, e^a{e^b} = e^{a-b}, et (e^a)^b = e^{ab}.

Correction

1. Étape 1 : Quatre simplifications, et toutes découlent d'une seule règle. La règle fondamentale et ses conséquences : [formule] [formule] 👉 Comment retenir laquelle s'applique : c'est la même chose que pour les puissances de 2 ou de 10, apprises bien avant. Produit on additionne les exposants ; quotient on soustrait ; puissance on multiplie. ⚠️ Et la question d) demande le geste inverse : décomposer au lieu de rassembler. Les règles se lisent dans les deux sens.
2. Étape 2 : a) Un produit : on additionne les exposants. e^{3x} e^{2x} = e^{3x+2x} [formule] b) Un quotient : on soustrait. e^{5x}{e^{2x}} = e^{5x-2x} [formule]

   e^{5x} ; e^{3x}

3. Étape 3 : c) Une puissance de puissance : on multiplie. (e^x)^3 = e^{x 3} [formule] ⚠️ Ne pas confondre avec b), qui donne le même résultat par un chemin différent. Ici c'est (e^x)^3 ; en b) c'était un quotient. Les deux valent e^{3x}, mais pour des raisons distinctes. 👉 Contrôle par une valeur : en x = 1, (e^1)^3 = e^3 20{,}1, et e^{3 1} = e^3 ✓ — alors que e^{1+3} = e^4 54{,}6 serait faux.

   (e^x)^3 = e^{3x}

4. Étape 4 : d) Ici on décompose au lieu de rassembler — la règle du produit, lue de droite à gauche : [formule] 👉 À quoi cela sert-il ? À isoler la partie qui dépend de x. Ici e^3 est une constante (environ 20{,}1), et e^{2x} est la seule partie variable. C'est exactement ce qu'on fait pour dériver, pour étudier un signe, ou pour reconnaître une croissance exponentielle : e^{2x+3} = 20{,}1 e^{2x} décrit une croissance de taux 2, partant de 20{,}1.

   e^{2x+3} = e^3 e^{2x}

5. Étape 5 : L'erreur classique : Écrire e^a e^b = e^{ab} — en multipliant les exposants au lieu de les additionner. Contre-épreuve en trois secondes : e^1 e^1 = e e = e^2, alors que e^{1 1} = e^1 = e. Deux résultats différents, donc la règle est fausse. 👉 Le repère définitif : produit addition, puissance multiplication. C'est la même chose que 2^3 2^4 = 2^7. À retenir : Tout découle de e^a e^b = e^{a+b}. 👉 Et les règles se lisent dans les deux sens : e^{2x+3} = e^3 e^{2x} isole la constante de la partie variable.