Calculer des valeurs de la fonction exponentielle

Énoncé

Calculer les valeurs suivantes : a) e^0 b) e^1 c) e^{-1} d) e^2

Indice : Utilise les propriétés de base : e^0 = 1, e^1 = e, et e^{-a} = 1{e^a}.

Correction

1. Étape 1 : Quatre valeurs à connaître, et deux propriétés qui les relient toutes. Les valeurs de référence : [formule] 👉 e n'est pas un nombre « rond » : c'est un irrationnel, comme , dont le développement décimal ne s'arrête jamais (2{,}71828). On le laisse donc sous forme exacte, et l'on ne donne une valeur approchée que si l'énoncé le demande. ⚠️ Et e^{-1} n'est pas négatif : une exponentielle est toujours strictement positive. C'est l'exposant qui est négatif, ce qui rend le résultat petit — mais jamais négatif.
2. Étape 2 : a) e^0 = 1. 👉 Ce n'est pas une convention arbitraire : c'est la règle générale a^0 = 1, valable pour toute base non nulle. Elle découle de a^n{a^n} = a^{n-n} = a^0, et un nombre divisé par lui-même vaut 1. b) e^1 = e 2{,}718. e est la réponse — écrire 2{,}718 serait une approximation, donc une perte d'information.

   e^0 = 1 ; e^1 = e

3. Étape 3 : c) On applique e^{-a} = 1{e^a} avec a = 1 : [formule] 👉 Un exposant négatif donne un résultat entre 0 et 1, jamais un nombre négatif. Le repère : e^x < 1 si x < 0, e^x = 1 si x = 0, e^x > 1 si x > 0. d) e^2 = e e 2{,}718 2{,}718 [formule] Contrôle : e^2 doit être entre e 2{,}72 et e^3 20, et plus proche du bas — l'exponentielle accélère ✓

   e^{-1} = 1{e} 0{,}368 ; e^2 7{,}389

4. Étape 4 : L'erreur classique : Croire que e^{-1} est négatif. Une exponentielle ne prend jamais de valeur négative, ni nulle : sa courbe reste toujours au-dessus de l'axe des abscisses, dont elle se rapproche sans jamais l'atteindre quand x -. 👉 C'est cette propriété qui rendra tant de raisonnements possibles dans la suite : dans un produit ou un quotient, un facteur e^u peut toujours être écarté du calcul du signe. À retenir : e^0 = 1, e^1 = e 2{,}718, et e^{-a} = 1{e^a}. 👉 Et e^x > 0 toujours — c'est la propriété la plus utilisée du chapitre.