Longueur approchée d'une portion de courbe

Énoncé

On veut estimer la longueur de la portion de la parabole d'équation y = x² comprise entre les points A(0 ; 0) et C(2 ; 4). a) On note B(1 ; 1). Calculer AB + BC, puis en donner une valeur approchée à 0,001 près. b) Pourquoi la longueur de la portion de parabole est-elle plus grande que AB + BC ? c) On découpe maintenant [0 ; 2] en n parts égales, et l'on additionne les longueurs des n segments obtenus. Compléter la ligne manquante de l'algorithme : ``` L ← 0 pour k allant de 0 à n − 1 x1 ← 2 × k / n x2 ← 2 × (k + 1) / n L ← …… fin pour ``` d) Programmé en Python, cet algorithme affiche 4,6267 pour n = 4, 4,6435 pour n = 10 et 4,6468 pour n = 100. Que peut-on en conclure ?

Indice : Dans un repère orthonormé, AB = √((xB - xA)² + (yB - yA)²). Et sur la parabole, le point d'abscisse x a pour ordonnée x².

Correction

1. Étape 1 : On ne sait pas mesurer directement une courbe, mais on sait mesurer un segment. L'idée est donc de remplacer la courbe par une ligne brisée qui la suit, et d'additionner les longueurs des segments. Distance entre deux points : Dans un repère orthonormé, AB = √((xB - xA)² + (yB - yA)²). 👉 Plus la ligne brisée a de segments, plus elle colle à la courbe : la longueur obtenue s'approche de la vraie longueur.
2. Étape 2 : a) Avec la formule de la distance : AB = √((1 - 0)² + (1 - 0)²) = √(2) BC = √((2 - 1)² + (4 - 1)²) = √(1 + 9) = √(10) AB + BC = √(2) + √(10) ≈ 1,414 + 3,162 ≈ 4,576 ⚠️ On n'additionne pas sous la racine : √(2) + √(10) n'est pas √(12).

   AB + BC = √(2) + √(10) ≈ 4,576

3. Étape 3 : b) Entre deux points, le chemin le plus court est le segment qui les relie. La portion de parabole qui va de A à B est donc plus longue que le segment [AB], et celle qui va de B à C plus longue que [BC]. En additionnant, la longueur de la portion de parabole dépasse AB + BC ≈ 4,576 : la ligne brisée en donne une valeur approchée par défaut.
4. Étape 4 : c) À chaque tour, on ajoute à L la longueur du segment qui relie les points de la parabole d'abscisses x₁ et x₂, c'est-à-dire (x₁ ; x₁²) et (x₂ ; x₂²). La ligne manquante est donc « L ← L + √((x2 − x1)² + (x2² − x1²)²) » La variable L accumule les longueurs : elle part de 0, et chaque tour lui ajoute un segment. Pour n = 2, les deux tours ajoutent AB puis BC, et l'on retrouve le résultat de la question a).
5. Étape 5 : d) Les longueurs obtenues augmentent avec n : environ 4,576 pour n = 2, puis 4,6267, 4,6435 et 4,6468. De n = 2 à n = 4, c'est garanti : chaque segment est remplacé par deux segments de mêmes extrémités, plus longs que lui à eux deux. De 4 à 10, les points de découpage ne sont plus les mêmes : la hausse se constate, et toutes ces longueurs restent inférieures à celle de la courbe. Les valeurs se stabilisent : entre n = 10 et n = 100, elles ne diffèrent plus qu'à partir du troisième chiffre après la virgule. On peut estimer que la longueur de la portion de parabole vaut environ 4,65. ℹ️ La valeur exacte, qu'on sait calculer avec des outils du supérieur, vaut 4,6468 au dix-millième près.
6. Étape 6 : L'erreur classique : Additionner sous la racine : écrire √(2) + √(10) = √(12) ≈ 3,46. Le résultat est même plus petit que le segment direct AC = √(4 + 16) = √(20) ≈ 4,47, ce qui est impossible pour un chemin qui passe par B. À retenir : Pour approcher la longueur d'une courbe : la remplacer par une ligne brisée, mesurer chaque segment avec la formule de la distance, et additionner. 👉 Les valeurs obtenues sont par défaut, et elles augmentent quand on découpe plus finement.