Inéquations f(x) < k avec les fonctions de référence

Énoncé

Résoudre dans ℝ les inéquations suivantes, en contrôlant chaque résultat sur la courbe de la fonction de référence. a) x² < 9 b) x² ≥ 2 c) √(x) ≤ 4 d) 1/x < 2 e) x³ > 27 f) | x | ≥ 3 g) √(x) < -1 h) 1/x < -2

Indice : Résous d'abord l'équation f(x) = k, puis regarde de quel côté la courbe passe sous (ou au-dessus de) la droite y = k. Pour d), sépare les x négatifs et les x positifs.

Correction

Étape 1 : Pour chaque inéquation, on cherche les x dont l'image est en dessous (ou au-dessus) d'une valeur k. Graphiquement, ce sont les abscisses des points de la courbe situés sous (ou au-dessus de) la droite horizontale d'équation y = k. Résoudre f(x) < k avec une fonction de référence : 1. Résoudre d'abord l'équation f(x) = k : elle donne les bornes. 2. Lire sur la courbe de quel côté des bornes elle passe sous la droite. 3. Justifier par les variations de f ou par un tableau de signes, sans oublier l'ensemble de définition. 👉 Trois pièges reviennent : le côté négatif pour le carré et la valeur absolue, la borne 0 pour la racine carrée, et le signe de x pour l'inverse.
Étape 2 : a) x² < 9. L'équation x² = 9 a pour solutions -3 et 3, et la parabole est sous la droite d'équation y = 9 entre ces deux valeurs. Pour le justifier : x² < 9 ⟺ x² - 9 < 0 ⟺ (x - 3)(x + 3) < 0. Le produit est négatif quand ses deux facteurs sont de signes contraires. Comme x + 3 est toujours plus grand que x - 3, cela signifie x + 3 > 0 et x - 3 < 0, soit -3 < x < 3. S = ]-3 ; 3[ Contrôle : x = -4 donne 16, qui n'est pas inférieur à 9 ✓ ; x = 0 donne 0 < 9 ✓. b) x² ≥ 2. Cette fois, on veut la parabole au-dessus de la droite d'équation y = 2, donc à l'extérieur des solutions de x² = 2, qui sont -√(2) et √(2) — bornes comprises, puisque l'inégalité est large. Pour le justifier : x² ≥ 2 ⟺ (x - √(2))(x + √(2)) ≥ 0, ce qui a lieu quand les deux facteurs sont de même signe ou que l'un est nul, soit x ≤ -√(2) ou x ≥ √(2). S = ]-∞ ; -√(2)] ∪ [√(2) ; +∞[
Étape 3 : c) √(x) ≤ 4. La racine carrée n'est définie que pour x ≥ 0. Sur [0 ;+∞[, elle est strictement croissante, et 4 = √(16) : √(x) ≤ √(16) ⟺ x ≤ 16 En ajoutant la condition d'existence x ≥ 0 : S = [0 ; 16] ⚠️ Répondre ]-∞ ; 16] ferait entrer x = -9, dont la racine n'existe pas.
S = [0 ; 16]
Étape 4 : d) 1/x < 2. La fonction inverse n'est décroissante que sur chacun des intervalles ]-∞ ; 0[ et ]0 ;+∞[, séparément : on sépare donc les deux cas. Si x < 0 : 1/x est négatif, donc inférieur à 2. Tous les réels négatifs sont solutions. Si x > 0 : 2 = 1/(1/2), et la fonction inverse est strictement décroissante sur ]0 ;+∞[, donc 1/x < 1/(1/2) ⟺ x > 1/2 S = ]-∞ ; 0[ ∪ ]1/2 ; +∞[ Sur la courbe : la branche de gauche est entièrement sous la droite d'équation y = 2 ; la branche de droite passe sous cette droite à partir de x = 1/2.
Étape 5 : e) x³ > 27. Comme 27 = 3³ et que la fonction cube est strictement croissante sur ℝ, elle conserve l'ordre : x³ > 3³ ⟺ x > 3 S = ]3 ; +∞[ f) | x | ≥ 3. La valeur absolue est la distance à 0 : on cherche les nombres situés à une distance au moins égale à 3 de 0, d'un côté ou de l'autre : S = ]-∞ ; -3] ∪ [3 ; +∞[ g) √(x) < -1. Une racine carrée est toujours positive ou nulle : elle n'est jamais inférieure à -1. S = ∅ h) 1/x < -2. Si x > 0, 1/x > 0 : aucune solution. Si x < 0 : -2 = 1/(-1/2), et la fonction inverse est strictement décroissante sur ]-∞ ; 0[, donc 1/x < 1/(-1/2) ⟺ x > -1/2. S = ]-1/2 ; 0[ Contrôle : x = -0,25 donne -4 < -2 ✓ ; x = -1 donne -1, qui n'est pas inférieur à -2 ✓.
Étape 6 : L'erreur classique : En d), « multiplier par x » : 1/x < 2 ⟹ 1 < 2x ⟹ x > 1/2. On perd ainsi tous les nombres négatifs, qui sont pourtant solutions : x = -1 donne -1 < 2. Multiplier par x ne conserve le sens de l'inégalité que si x > 0. En a), écrire x² < 9 ⟺ x < 3 fait entrer x = -5, dont le carré vaut 25. À retenir : Résoudre l'équation pour trouver les bornes, puis choisir entre ou à l'extérieur en regardant la courbe. 👉 Et toujours un contrôle par une valeur négative : c'est elle qui révèle les oublis.