Équations f(x) = k avec les fonctions de référence

Énoncé

Résoudre dans ℝ les équations suivantes. Pour chacune, dire quelle fonction de référence intervient et combien de solutions sa courbe laisse prévoir. a) x² = 7 b) x² = -4 c) 1/x = -4 d) √(x) = 3 e) x³ = -8 f) | x | = 5

Indice : Pense à la courbe de référence et à la droite horizontale y = k : le nombre de points d'intersection est le nombre de solutions.

Correction

1. Étape 1 : Six équations du même type, f(x) = k, où f est une fonction de référence. Avant tout calcul, la courbe dit combien il y a de solutions : c'est le nombre de points où la droite horizontale d'équation y = k la coupe. Le nombre de solutions de f(x) = k : Carré et valeur absolue : deux solutions opposées si k > 0, une seule si k = 0, aucune si k < 0. Inverse : une solution si k ≠ 0, aucune si k = 0. Racine carrée : une solution si k ≥ 0, aucune si k < 0. Cube : toujours une solution, et une seule. 👉 Ce décompte n'est pas un luxe : il dit combien de solutions chercher, et c'est lui qui empêche d'oublier la solution négative de x² = 7.
2. Étape 2 : a) x² = 7 : la droite d'équation y = 7 coupe la parabole en deux points, symétriques par rapport à l'axe des ordonnées. Comme 7 > 0 : x² = 7 ⟺ x² - (√(7))² = 0 ⟺ (x - √(7))(x + √(7)) = 0 Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs l'est : x = √(7) ou x = -√(7). S = {-√(7) ; √(7)} b) x² = -4 : la droite d'équation y = -4 est sous l'axe des abscisses, et la parabole ne descend jamais sous cet axe. En effet, un carré est toujours positif ou nul : il ne peut pas valoir -4. S = ∅

   Sₐ = {-√(7) ; √(7)} ; Sb = ∅

3. Étape 3 : c) 1/x = -4 : la droite d'équation y = -4 coupe l'hyperbole en un seul point, sur la branche de gauche, puisque -4 < 0. Comme -4 ≠ 0, l'unique solution est l'inverse de -4 : x = 1/(-4) = -1/4 Contrôle : 1 ÷ (-1/4) = -4 ✓ d) √(x) = 3 : la courbe de la racine carrée monte sans jamais redescendre, elle coupe la droite d'équation y = 3 en un point. Comme 3 ≥ 0, la solution est x = 3² = 9, puisque √(9) = 3. ⚠️ Pas x = √(3) : on cherche le nombre dont la racine vaut 3, donc on élève 3 au carré.

   Sc = {-1/4} ; Sd = {9}

4. Étape 4 : e) x³ = -8 : la fonction cube est strictement croissante sur ℝ, sa courbe coupe chaque droite horizontale en un seul point — y compris sous l'axe des abscisses, puisqu'un cube peut être négatif. On cherche le nombre dont le cube vaut -8 : (-2)³ = (-2) × (-2) × (-2) = -8. S = {-2} f) | x | = 5 : la droite d'équation y = 5 coupe le « V » en deux points. La valeur absolue est la distance à 0 : les nombres situés à une distance 5 de 0 sont 5 et -5. S = {-5 ; 5}

   Sₑ = {-2} ; Sf = {-5 ; 5}

5. Étape 5 : L'erreur classique : Traiter toutes les fonctions comme la fonction carré. On écrit alors « x³ = -8 n'a pas de solution, car un cube est positif », ce qui est faux : (-2)³ = -8. Ou bien, dans l'autre sens, on oublie la solution -√(7) de x² = 7 et l'on ne garde que √(7). À retenir : D'abord compter, ensuite calculer : la courbe de référence et la droite y = k disent combien de solutions chercher. 👉 Puis contrôler chaque solution en calculant son image : (-√(7))² = 7, √(9) = 3, (-2)³ = -8.