Parité d'une fonction (vérification algébrique et graphique)

Énoncé

Pour chaque fonction, vérifier algébriquement si elle est paire, impaire ou ni l'un ni l'autre. Préciser la conséquence graphique. a) f(x) = x^4 - 3x^2 + 1 b) g(x) = x{x^2 + 1} c) h(x) = x^3 + 2x + 1 d) k(x) = |x|

Indice : Calcule f(-x) et compare à f(x) et -f(x). Rappel : une fonction paire a une courbe symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, une impaire par rapport à l'origine.

Correction

1. Étape 1 : **a)** f(-x) = (-x)^4 - 3(-x)^2 + 1 = x^4 - 3x^2 + 1 = f(x). Donc f est **paire**. Sa courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
2. Étape 2 : **b)** g(-x) = -x{(-x)^2 + 1} = -x{x^2 + 1} = -g(x). Donc g est **impaire**. Sa courbe est symétrique par rapport à l'origine.
3. Étape 3 : **c)** h(-x) = (-x)^3 + 2(-x) + 1 = -x^3 - 2x + 1. Or h(x) = x^3 + 2x + 1 et -h(x) = -x^3 - 2x - 1.
4. Étape 4 : On a h(-x) h(x) (car -x^3 - 2x + 1 x^3 + 2x + 1) et h(-x) -h(x) (car -x^3 - 2x + 1 -x^3 - 2x - 1). Donc h n'est **ni paire ni impaire**.
5. Étape 5 : **d)** k(-x) = |-x| = |x| = k(x). Donc k est **paire**. Sa courbe (en V) est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.