Parité d'une fonction (vérification algébrique et graphique)

Énoncé

Pour chaque fonction, vérifier algébriquement si elle est paire, impaire ou ni l'un ni l'autre. Préciser la conséquence graphique. a) f(x) = x^4 - 3x^2 + 1 b) g(x) = x{x^2 + 1} c) h(x) = x^3 + 2x + 1 d) k(x) = |x|

Indice : Calcule f(-x) et compare à f(x) et -f(x). Rappel : une fonction paire a une courbe symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, une impaire par rapport à l'origine.

Correction

1. Étape 1 : Même méthode que pour l'exercice précédent sur la parité, avec une exigence de plus : préciser la conséquence graphique. Ce n'est pas un ornement — c'est ce qui rend la propriété utile. Parité et symétrie : f paire (f(-x) = f(x)) courbe symétrique par rapport à l'axe des ordonnées ; f impaire (f(-x) = -f(x)) courbe symétrique par rapport à l'origine. 👉 Concrètement : sur une fonction paire ou impaire, il suffit d'étudier la moitié de l'intervalle et de compléter par symétrie. C'est un gain de travail considérable, et c'est la raison d'être de cette notion.
2. Étape 2 : a) f(x) = x^4 - 3x^2 + 1 f(-x) = (-x)^4 - 3(-x)^2 + 1 = x^4 - 3x^2 + 1 = f(x) car (-x)^4 = x^4 et (-x)^2 = x^2 — les exposants pairs effacent le signe. f est paire, sa courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

   f(-x) = f(x) f paire

3. Étape 3 : b) g(x) = x{x^2+1} g(-x) = -x{(-x)^2+1} = -x{x^2+1} = -g(x) 👉 Le dénominateur ne change pas, puisque (-x)^2 = x^2 : seul le numérateur change de signe. C'est ce qui rend la fonction impaire. g est impaire, sa courbe est symétrique par rapport à l'origine.

   g(-x) = -g(x) g impaire

4. Étape 4 : c) h(x) = x^3 + 2x + 1 h(-x) = (-x)^3 + 2(-x) + 1 = -x^3 - 2x + 1 On compare aux deux candidats : h(x) = x^3 + 2x + 1 — différent (les termes en x ont changé de signe) ; -h(x) = -x^3 - 2x - 1 — différent aussi, et d'un seul terme : le +1 contre le -1. h n'est ni paire ni impaire. 👉 C'est le « +1 » qui casse tout : sans lui, x^3 + 2x serait impaire. Une constante non nulle ajoutée à une fonction impaire détruit l'imparité — parce qu'elle ne change pas de signe quand x le fait.

   h ni paire ni impaire

5. Étape 5 : d) k(x) = |x| k(-x) = |-x| = |x| = k(x) car la valeur absolue est une distance à zéro, et x et -x sont à la même distance de 0. k est paire, et sa courbe — le fameux « V » — est bien symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

   k(-x) = k(x) k paire

6. Étape 6 : L'erreur classique : Conclure sur la seule forme des exposants. En c), les exposants sont impairs (3 et 1), et l'on serait tenté de dire « impaire » — mais le +1 constant l'en empêche. Le critère des exposants ne vaut que pour un polynôme sans terme constant, et il ne dispense jamais du calcul de f(-x). À retenir : Calculer f(-x), comparer à f(x) et à -f(x), puis nommer la symétrie. 👉 Et se servir de la conséquence graphique comme contrôle : si la courbe n'est visiblement symétrique ni par rapport à l'axe des ordonnées ni par rapport à l'origine, la fonction n'est ni paire ni impaire — et le calcul doit le confirmer.