Fonction carré et fonction inverse (propriétés)

Énoncé

Partie 1 – Fonction carré : Soit f(x) = x^2. Sans calculatrice, comparer : a) f(3) et f(5) b) f(-4) et f(-2) c) f(-3) et f(2) Partie 2 – Fonction inverse : Soit g(x) = 1{x}. Sans calculatrice, comparer : d) g(2) et g(7) e) g(-5) et g(-1)

Indice : La fonction carré est décroissante sur ]- ; 0] et croissante sur [0 ; +[. La fonction inverse est décroissante sur ]- ; 0[ et sur ]0 ; +[.

Correction

1. Étape 1 : Même principe que dans l'exercice sur les fonctions de référence, avec un cas nouveau en question c) : comparer deux nombres de signes différents, où la monotonie ne s'applique pas directement. Trois situations, trois raisonnements : Même signe on applique le sens de variation sur l'intervalle concerné. Signes différents, fonction carré on compare les valeurs absolues : plus on est loin de zéro, plus le carré est grand. Signes différents, fonction inverse inutile de comparer quoi que ce soit : un inverse négatif est toujours plus petit qu'un inverse positif. 👉 La raison est simple : une fonction n'est monotone que sur un intervalle. Deux nombres de signes opposés sont de part et d'autre de 0, donc dans deux intervalles de monotonie différents.
2. Étape 2 : Partie 1 — la fonction carré. a) 3 et 5 sont positifs, et f est croissante sur [0\,;+[. Comme 3 < 5, l'ordre est conservé : f(3) < f(5), soit 9 < 25 b) -4 et -2 sont négatifs, et f est décroissante sur ]-\,;\,0]. Comme -4 < -2, l'ordre est renversé : f(-4) > f(-2), soit 16 > 4

   9 < 25 ; 16 > 4

3. Étape 3 : c) -3 et 2 sont de signes différents : ils ne sont pas dans le même intervalle de monotonie, donc on ne peut pas appliquer directement le sens de variation. On compare alors les valeurs absolues, c'est-à-dire les distances à zéro : |-3| = 3 et |2| = 2, donc 3 > 2 Comme la fonction carré ne dépend que de la distance à zéro : [formule] 👉 C'est une conséquence directe de la parité : (-3)^2 = 3^2. La fonction carré « oublie » le signe.

   9 > 4

4. Étape 4 : Partie 2 — la fonction inverse. d) 2 et 7 sont positifs, et g est décroissante sur ]0\,;+[. Comme 2 < 7, l'ordre est renversé : g(2) > g(7), soit 1{2} > 1{7} e) -5 et -1 sont négatifs, et g est également décroissante sur ]-\,;\,0[. Comme -5 < -1 : g(-5) > g(-1), soit -1{5} > -1 ⚠️ Ce dernier résultat surprend souvent : -0{,}2 est bien plus grand que -1. Sur les négatifs, plus on est loin de zéro, plus on est petit.

   1{2} > 1{7} ; -1{5} > -1

5. Étape 5 : L'erreur classique : Appliquer la monotonie à deux nombres de signes différents, comme si la fonction était monotone sur R tout entier. En c), le raisonnement « -3 < 2 donc f(-3) < f(2) » donnerait 9 < 4, ce qui est faux. Ni la fonction carré ni la fonction inverse ne sont monotones sur R — elles changent de comportement en 0. À retenir : Toujours vérifier d'abord que les deux nombres sont du même côté de zéro. 👉 S'ils ne le sont pas : pour x^2, comparer les valeurs absolues ; pour 1{x}, se rappeler qu'un inverse négatif est toujours plus petit qu'un inverse positif.