Fonction carré et fonction inverse (propriétés)

Énoncé

**Partie 1 – Fonction carré :** Soit f(x) = x^2. Sans calculatrice, comparer : a) f(3) et f(5) b) f(-4) et f(-2) c) f(-3) et f(2) **Partie 2 – Fonction inverse :** Soit g(x) = 1{x}. Sans calculatrice, comparer : d) g(2) et g(7) e) g(-5) et g(-1)

Indice : La fonction carré est décroissante sur ]- ; 0] et croissante sur [0 ; +[. La fonction inverse est décroissante sur ]- ; 0[ et sur ]0 ; +[.

Correction

1. Étape 1 : **a)** 3 et 5 sont positifs. f est croissante sur [0 ; +[. Comme 3 < 5, on a f(3) < f(5), soit 9 < 25.
2. Étape 2 : **b)** -4 et -2 sont négatifs. f est décroissante sur ]- ; 0]. Comme -4 < -2, on a f(-4) > f(-2), soit 16 > 4.
3. Étape 3 : **c)** -3 et 2 sont de signes différents. On ne peut pas utiliser directement la monotonie. On compare les valeurs absolues : |-3| = 3 > |2| = 2, donc f(-3) > f(2), soit 9 > 4.
4. Étape 4 : **d)** 2 et 7 sont positifs. g est décroissante sur ]0 ; +[. Comme 2 < 7, on a g(2) > g(7), soit 1{2} > 1{7}.
5. Étape 5 : **e)** -5 et -1 sont négatifs. g est décroissante sur ]- ; 0[. Comme -5 < -1, on a g(-5) > g(-1), soit -1{5} > -1.