Tableau de variations à partir du graphique

Énoncé

La courbe d'une fonction f définie sur [-5 ; 7] présente les caractéristiques suivantes : - f(-5) = 0 - f est croissante sur [-5 ; -1] avec f(-1) = 4 - f est décroissante sur [-1 ; 3] avec f(3) = -2 - f est croissante sur [3 ; 7] avec f(7) = 5 a) Dresser le tableau de variations de f. b) f admet-elle un maximum local ? un minimum local ? Préciser. c) Résoudre graphiquement f(x) = 0 (combien de solutions au maximum ?).

Indice : Un maximum local est atteint quand la fonction passe de croissante à décroissante. Utilise le théorème des valeurs intermédiaires pour les solutions de f(x) = 0.

Correction

1. Étape 1 : **a)** Tableau de variations : f(-5) = 0 f(-1) = 4 f(3) = -2 f(7) = 5.
2. Étape 2 : **b)** En x = -1, f passe de croissante à décroissante : **maximum local** de valeur 4. En x = 3, f passe de décroissante à croissante : **minimum local** de valeur -2.

   Maximum local : f(-1) = 4 Minimum local : f(3) = -2

3. Étape 3 : **c)** On cherche les x tels que f(x) = 0. Sur [-5 ; -1], f va de 0 à 4 : f(-5) = 0 est une solution. Sur [-1 ; 3], f va de 4 à -2 : f s'annule une fois (par le TVI). Sur [3 ; 7], f va de -2 à 5 : f s'annule une fois.
4. Étape 4 : L'équation f(x) = 0 admet **3 solutions** : x = -5 et deux autres valeurs (une dans ]-1 ; 3[ et une dans ]3 ; 7[).