Tableau de variations à partir du graphique

Énoncé

La courbe d'une fonction f définie sur [-5 ; 7] présente les caractéristiques suivantes : - f(-5) = 0 - f est croissante sur [-5 ; -1] avec f(-1) = 4 - f est décroissante sur [-1 ; 3] avec f(3) = -2 - f est croissante sur [3 ; 7] avec f(7) = 5 a) Dresser le tableau de variations de f. b) f admet-elle un maximum local ? un minimum local ? Préciser. c) Résoudre graphiquement f(x) = 0 (combien de solutions au maximum ?).

Indice : Un maximum local est atteint quand la fonction passe de croissante à décroissante. Utilise le théorème des valeurs intermédiaires pour les solutions de f(x) = 0.

Correction

1. Étape 1 : Aucun calcul dans cet exercice : tout se déduit des variations annoncées. Le tableau de variations est un résumé de la courbe, et il suffit à répondre aux trois questions. Ce qu'un tableau de variations permet de lire : les extrema locaux : à chaque changement de sens ; le nombre de solutions d'une équation f(x) = k : en comptant les fois où la courbe traverse la hauteur k. 👉 Pour le second point, le raisonnement est visuel et se dit simplement : sur un intervalle où f descend de 4 à -2, la courbe passe par toutes les hauteurs intermédiaires — donc par 0 — et une seule fois, puisqu'elle ne remonte pas.
2. Étape 2 : a) Le tableau de variations. | x | -5 | | -1 | | 3 | | 7 | |:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:| | f(x) | 0 | | 4 | | -2 | | 5 | On y lit d'un coup d'œil : le départ à 0, la montée jusqu'à 4, la descente jusqu'à -2, la remontée jusqu'à 5.
3. Étape 3 : b) Les extrema. Ils se lisent aux changements de sens : en x = -1, f passe de croissante à décroissante maximum local, de valeur f(-1) = 4 ; en x = 3, f passe de décroissante à croissante minimum local, de valeur f(3) = -2. ⚠️ On dit local parce qu'il y a plusieurs alternances : le maximum en -1 vaut 4, mais f atteint 5 en x = 7. Ce n'est donc pas le maximum de toute la fonction. ℹ️ Sur [-5\,;\,7], le maximum global est bien f(7) = 5, et le minimum global f(3) = -2.

   max local f(-1) = 4 ; min local f(3) = -2

4. Étape 4 : c) Le nombre de solutions de f(x) = 0. On examine les trois morceaux, l'un après l'autre. Sur [-5\,;\,-1] : f monte de 0 à 4. La valeur 0 est atteinte une fois, en x = -5 (la borne elle-même), et f ne redescend pas ensuite — donc pas d'autre solution ici. Sur [-1\,;\,3] : f descend de 4 à -2. Elle part au-dessus de 0 et arrive en dessous, donc elle traverse 0 — et une seule fois, puisqu'elle ne fait que descendre. Sur [3\,;\,7] : f monte de -2 à 5. Elle part en dessous de 0 et arrive au-dessus, donc elle traverse 0 une fois. [formule] Une seule est connue précisément (x = -5) ; les deux autres sont situées dans ]-1\,;\,3[ et ]3\,;\,7[ sans qu'on puisse les calculer.

   f(x) = 0 a 3 solutions

5. Étape 5 : L'erreur classique : Compter les solutions sans regarder les signes aux bornes de chaque morceau. Le critère est simple : sur un intervalle où f est monotone, la courbe traverse la hauteur 0 si et seulement si elle part d'un côté et arrive de l'autre. Sur [-5\,;\,-1], f va de 0 à 4 : elle reste au-dessus après le départ, donc pas de seconde traversée. À retenir : Sur chaque morceau où f est monotone, comparer les valeurs aux deux bornes à la hauteur cherchée. Signes opposés une solution ; même signe aucune. 👉 Et distinguer soigneusement local et global : un maximum local n'est le plus grand que dans son voisinage.