Résolution graphique d'équation f(x) = g(x)
Énoncé
Soit f(x) = x^2 - 2 et g(x) = x.
a) Compléter le tableau de valeurs pour x \{-2 ; -1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3\}.
b) Résoudre algébriquement f(x) = g(x).
c) Résoudre graphiquement f(x) < g(x) (déduire les intervalles du b).
Indice : Pour b), résous x^2 - 2 = x, soit x^2 - x - 2 = 0. Pour c), f(x) < g(x) correspond aux x où la parabole est sous la droite.
Correction
- Étape 1 : Résoudre f(x) = g(x), c'est chercher les points d'intersection des deux courbes. L'exercice le fait de deux façons complémentaires, et c'est leur confrontation qui vaut :
Deux voies, un même résultat :
graphiquement — repérer où les deux courbes se croisent, ou bien où les deux lignes du tableau de valeurs portent le même nombre ;
algébriquement — ramener tout d'un côté et résoudre f(x) - g(x) = 0.
👉 Le tableau de la question a) n'est donc pas un préliminaire décoratif : il donne les solutions, que le calcul de la question b) viendra confirmer. C'est exactement ce qui permettra de factoriser sans autre outil.
- Étape 2 : a) On calcule les deux lignes, avec f(x) = x^2 - 2 et g(x) = x :
| x | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|
| f(x) | 2 | -1 | -2 | -1 | 2 | 7 |
| g(x) | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
👉 Deux colonnes portent le même nombre sur les deux lignes : celle de x = -1 (les deux valent -1) et celle de x = 2 (les deux valent 2). Ce sont les points où les courbes se croisent.
- Étape 3 : b) On ramène tout d'un côté :
x^2 - 2 = x x^2 - x - 2 = 0
Le tableau nous a donné les deux racines, -1 et 2. On peut donc écrire la forme factorisée (x-2)(x+1) — et il faut la vérifier en développant, ce qui est le seul geste rigoureux :
(x-2)(x+1) = x^2 + x - 2x - 2 = x^2 - x - 2 ✓
Donc
[formule]
[formule]
S = \{-1 \,;\, 2\}
- Étape 4 : c) On cherche maintenant f(x) < g(x), c'est-à-dire les x pour lesquels la parabole passe sous la droite.
C'est la même expression, avec une inégalité :
x^2 - x - 2 < 0 (x-2)(x+1) < 0
Tableau de signes, avec les racines -1 et 2 :
| x | - | | -1 | | 2 | | + |
|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|
| x-2 | | - | | - | 0 | + | |
| x+1 | | - | 0 | + | | + | |
| produit | | + | 0 | - | 0 | + | |
[formule]
Contrôle sur le tableau de valeurs : en x = 0 et x = 1, on lit bien f(x) < g(x) (-2 < 0 et -1 < 1) ✓ — et ces deux valeurs sont dans l'intervalle trouvé.
S = \, ]-1 \,;\, 2[
- Étape 5 : L'erreur classique :
Répondre à la question c) en cherchant où f est négative, au lieu de chercher où f - g l'est.
« f(x) < g(x) » compare deux fonctions : il faut donc étudier leur différence, jamais l'une des deux seule. Ici f(0) = -2 est négatif, mais ce n'est pas ce qui décide — ce qui décide est que f(0) < g(0).
À retenir :
f(x) = g(x) ou f(x) < g(x) tout ramener d'un côté, puis factoriser et faire un tableau de signes.
👉 Et quand un tableau de valeurs accompagne l'énoncé, s'en servir : il donne les racines, qu'il suffit ensuite de confirmer en développant la forme factorisée. C'est la méthode de Seconde, et elle est parfaitement rigoureuse dès lors que la vérification est écrite.