Lecture graphique (image, antécédent, extremum)

Énoncé

On donne la courbe représentative d'une fonction f définie sur [-4 ; 6], passant par les points suivants : A(-4 ; 1), B(-2 ; 4), C(0 ; 2), D(2 ; -1), E(4 ; 3), F(6 ; 3). a) Déterminer f(0) et f(4). b) Déterminer les antécédents éventuels de 3 par f. c) La fonction admet-elle un maximum ? un minimum ? Préciser les valeurs et les points où ils sont atteints.

Indice : L'image de a est l'ordonnée du point d'abscisse a. Un antécédent de b est l'abscisse d'un point d'ordonnée b.

Correction

1. Étape 1 : Trois lectures différentes sur les mêmes six points. Le vocabulaire est celui de l'exercice précédent, mais ici il y a deux antécédents à trouver, et deux extrema à distinguer. Lire les extrema sur une liste de points : Le maximum est la plus grande ordonnée ; le minimum la plus petite. Et l'on précise toujours où ils sont atteints, c'est-à-dire l'abscisse du point correspondant. 👉 Une réponse du type « le maximum est 4 » est incomplète : il faut dire « le maximum vaut 4, atteint en x = -2 ». La valeur et le point.
2. Étape 2 : a) On lit les ordonnées des points d'abscisses 0 et 4 : C(0\,;\,2) donne f(0) = 2 E(4\,;\,3) donne f(4) = 3

   f(0) = 2 ; f(4) = 3

3. Étape 3 : b) On cherche les points d'ordonnée 3. En parcourant la liste — 1, 4, 2, -1, 3, 3 — deux points conviennent : E(4\,;\,3) et F(6\,;\,3) Les antécédents de 3 sont donc 4 et 6. 👉 Deux antécédents pour une même valeur : c'est parfaitement normal, et c'est même le cas le plus fréquent. En revanche, un même x ne peut jamais avoir deux images — c'est ce qui définit une fonction.

   x = 4 \ et \ x = 6

4. Étape 4 : c) On compare les six ordonnées : 1\,;\,4\,;\,2\,;\,-1\,;\,3\,;\,3. La plus grande est 4, atteinte au point B, donc en x = -2. La plus petite est -1, atteinte au point D, donc en x = 2. [formule] ℹ️ Ces valeurs sont les extrema parmi les points connus. Comme on ne dispose que de six points sur un intervalle continu, la courbe pourrait monter plus haut entre deux d'entre eux — la même précaution qu'à l'exercice précédent.

   f = 4 en x = -2 ; f = -1 en x = 2

5. Étape 5 : L'erreur classique : Donner la valeur de l'extremum sans dire où il est atteint — ou l'inverse, donner l'abscisse à la place de la valeur. « Le maximum est -2 » est faux : -2 est l'endroit, 4 est le maximum. La confusion vient de ce qu'on lit les deux nombres sur le même point. À retenir : Un extremum se rend toujours en deux temps : sa valeur (f(-2) = 4) et son point (x = -2). 👉 Et se rappeler l'asymétrie qui définit une fonction : plusieurs antécédents pour une même image, c'est normal ; plusieurs images pour un même antécédent, jamais.