Problème de modélisation

Énoncé

On lance une balle verticalement depuis le toit d'un immeuble. Sa hauteur (en mètres) en fonction du temps t (en secondes) est : [formule] a) Quelle est la hauteur initiale de la balle (à t = 0) ? b) Vérifier que h(t) = -5(t - 5)(t + 1). c) À quel instant la balle touche-t-elle le sol ? d) En déduire l'instant où la balle atteint sa hauteur maximale, puis calculer cette hauteur.

Indice : Pour b), développe le produit proposé. Pour c), un produit est nul si l'un de ses facteurs l'est. Pour d), une parabole est symétrique : son sommet est au milieu de ses racines.

Correction

1. Étape 1 : Un problème concret, où chaque question prépare la suivante. La question b) donne la forme factorisée — il ne s'agit que de la vérifier — et c'est elle qui rend les deux dernières questions faisables. Ce qu'une forme factorisée permet de lire : les zéros de la fonction, donc l'instant où la balle touche le sol ; le sommet de la parabole, qui se trouve au milieu des deux racines — puisqu'une parabole est symétrique. 👉 Cette symétrie est ce qui remplace tout calcul de sommet : elle se voit sur la courbe, et elle se démontre en Seconde à partir du tableau de valeurs.
2. Étape 2 : a) La hauteur initiale est l'image de t = 0 : h(0) = -5 0^2 + 20 0 + 25 = 25 La balle part de 25 mètres — c'est la hauteur du toit d'où on la lance.

   h(0) = 25 m

3. Étape 3 : b) On vérifie la factorisation en développant : -5(t-5)(t+1) = -5(t^2 + t - 5t - 5) = -5(t^2 - 4t - 5) = -5t^2 + 20t + 25 C'est bien h(t) ✓ ⚠️ Le facteur -5 multiplie chacun des trois termes de la parenthèse, y compris le -5 final qui devient +25.

   h(t) = -5(t-5)(t+1)

4. Étape 4 : c) La balle touche le sol quand sa hauteur est nulle : h(t) = 0 -5(t-5)(t+1) = 0 Comme -5 0, c'est l'un des deux autres facteurs qui doit s'annuler : t - 5 = 0 \ ou \ t + 1 = 0 soit t = 5 \ ou \ t = -1 ⚠️ La valeur t = -1 est mathématiquement correcte mais physiquement impossible : le temps ne peut pas être négatif. On la rejette. La balle touche le sol au bout de 5 secondes.

   t = 5 s

5. Étape 5 : d) La courbe de h est une parabole, donc elle est symétrique par rapport à la verticale passant par son sommet. Ce sommet se trouve exactement au milieu des deux racines : [formule] On calcule la hauteur correspondante : h(2) = -5 4 + 20 2 + 25 = -20 + 40 + 25 = 45 La balle atteint sa hauteur maximale de 45 mètres au bout de 2 secondes. 👉 Remarquer que la racine t = -1, qu'on venait de rejeter comme impossible, sert quand même ici : la symétrie de la parabole est une propriété mathématique, indépendante du sens physique des valeurs.

   h_{} = h(2) = 45 m

6. Étape 6 : L'erreur classique : Rejeter la racine t = -1 et l'oublier pour la question d). On se retrouve alors sans moyen de trouver le sommet, alors qu'il suffisait de prendre le milieu des deux racines — y compris celle qu'on venait d'écarter. Écarter une valeur du contexte physique ne l'efface pas du calcul. Second piège, sur la question b) : oublier de multiplier le troisième terme par -5, et trouver -5t^2 + 20t - 5. À retenir : Forme factorisée les racines se lisent directement. Parabole le sommet est au milieu des racines. 👉 Et dans un problème concret, toujours confronter les solutions au contexte : un temps négatif, une longueur négative ou un effectif décimal se rejettent — mais on dit pourquoi, on ne les fait pas disparaître.