Problème de modélisation

Énoncé

On lance une balle verticalement. Sa hauteur (en mètres) en fonction du temps t (en secondes) est : [formule] a) Quelle est la hauteur initiale de la balle (à t = 0) ? b) À quel instant la balle atteint-elle sa hauteur maximale ? Quelle est cette hauteur ? c) À quel instant la balle touche-t-elle le sol ?

Indice : Pour b), le maximum d'une fonction -5t^2 + 20t + 1 est atteint en t = -b{2a}. Pour c), résous h(t) = 0.

Correction

1. Étape 1 : **a)** h(0) = -5(0)^2 + 20(0) + 1 = 1. La hauteur initiale est **1 mètre**.
2. Étape 2 : **b)** La hauteur maximale est atteinte au sommet de la parabole : t = -20{2 (-5)} = 20{10} = 2 s.

   h(2) = -5(4) + 20(2) + 1 = -20 + 40 + 1 = 21

3. Étape 3 : La hauteur maximale est **21 mètres**, atteinte à t = 2 secondes.
4. Étape 4 : **c)** On résout h(t) = 0, soit -5t^2 + 20t + 1 = 0. En multipliant par -1 : 5t^2 - 20t - 1 = 0.
5. Étape 5 : On utilise le discriminant : = (-20)^2 - 4(5)(-1) = 400 + 20 = 420.

   t = 20 {420}{10} = 20 2{105}{10} = 2 {105}{5}

6. Étape 6 : Comme t > 0, on garde t = 2 + {105}{5} 2 + 2{,}05 4{,}05 s. La balle touche le sol après environ **4 secondes**.