Encadrement avec les variations

Énoncé

On sait que 2 x 5. En utilisant les variations des fonctions de référence, encadrer : a) x^2 b) 1{x} c) x d) -3x + 10

Indice : Attention au sens de variation ! Si la fonction est décroissante, l'encadrement s'inverse.

Correction

1. Étape 1 : Encadrer f(x) à partir d'un encadrement de x, c'est appliquer la monotonie aux deux bornes à la fois. Le sens de variation décide si l'encadrement se conserve ou s'inverse. Encadrer une image : 1. vérifier que l'intervalle de départ est entièrement dans un intervalle de monotonie ; 2. appliquer f aux deux bornes ; 3. remettre dans l'ordre croissant si la fonction est décroissante. 👉 L'étape 1 n'est pas une formalité : si [-2\,;\,3] avait été donné, la fonction carré n'y serait pas monotone et le raisonnement s'effondrerait. Ici [2\,;\,5] est entièrement dans les positifs, donc tout se passe bien.
2. Étape 2 : a) La fonction carré est croissante sur [2\,;\,5], puisque ces valeurs sont positives. L'encadrement se conserve : 2^2 x^2 5^2 [formule] c) La fonction racine est croissante sur [0\,;+[, donc là aussi l'ordre se conserve : [formule]

   4 x^2 25 ; 2 x 5

3. Étape 3 : b) La fonction inverse est décroissante sur ]0\,;+[ : l'encadrement s'inverse. On applique aux deux bornes : 1{2} et 1{5} — mais c'est maintenant 1{5} qui est la plus petite. [formule] 👉 Le contrôle est immédiat : la borne de gauche doit être plus petite que celle de droite. 1{5} = 0{,}2 et 1{2} = 0{,}5 ✓

   1{5} 1{x} 1{2}

4. Étape 4 : d) La fonction x -3x + 10 est décroissante, car le coefficient de x vaut -3 < 0. L'encadrement s'inverse là aussi. Aux deux bornes : pour x = 2, -3 2 + 10 = 4 ; pour x = 5, -3 5 + 10 = -5. C'est donc -5 qui est la plus petite valeur : [formule] Contrôle avec une valeur intermédiaire : pour x = 3, -9 + 10 = 1, qui est bien entre -5 et 4 ✓

   -5 -3x + 10 4

5. Étape 5 : L'erreur classique : Garder l'ordre des bornes quand la fonction décroît. En b), on écrirait 1{2} 1{x} 1{5}, c'est-à-dire 0{,}5 1{x} 0{,}2 — un encadrement dont la borne gauche dépasse la droite, donc vide de sens. À retenir : Appliquer la fonction aux deux bornes, puis remettre dans l'ordre croissant. 👉 Et le contrôle qui ne coûte rien : la borne de gauche doit être plus petite que celle de droite. Un encadrement à l'envers se voit immédiatement.