Ensemble de définition complexe

Énoncé

Déterminer l'ensemble de définition de : a) f(x) = {x + 3}{x - 1} b) g(x) = {2x - 6{x + 1}}

Indice : Pour f, il faut que le contenu de la racine soit positif ET que le dénominateur soit non nul. Pour g, il faut que le quotient sous la racine soit positif.

Correction

1. Étape 1 : Deux conditions à cumuler, et la question b) introduit un cas nouveau : la condition porte sur un quotient, dont il faut étudier le signe. Cumuler des conditions : Chaque opération interdite impose sa condition ; l'ensemble de définition est leur intersection — toutes doivent être satisfaites en même temps. 👉 Et une conséquence de forme : exclure un point à l'intérieur d'un intervalle le coupe en deux morceaux, d'où une réunion . C'est ce qui arrive en question a).
2. Étape 2 : a) f(x) = {x+3}{x-1} : il y a une racine et un dénominateur, donc deux conditions. sous la racine : x + 3 0 x -3 au dénominateur : x - 1 0 x 1 On cumule : x -3 et x 1. Le point 1 est à l'intérieur de [-3\,;+[, donc il le coupe en deux : [formule]

   D_f = [-3 \,;\, 1[ \; \; ]1 \,;\, +[

3. Étape 3 : b) g(x) = {2x-6{x+1}} : la racine porte sur un quotient tout entier. Il faut donc 2x-6{x+1} 0, et x + 1 0. Le signe d'un quotient se lit comme celui d'un produit — les règles de signes sont les mêmes. Racines : 2x - 6 = 0 x = 3, et x + 1 = 0 x = -1 (valeur interdite). | x | - | | -1 | | 3 | | + | |:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:| | 2x-6 | | - | | - | 0 | + | | | x+1 | | - | 0 | + | | + | | | quotient | | + | \|\| | - | 0 | + | | La double barre en -1 marque la valeur interdite : le quotient n'y existe pas.
4. Étape 4 : On lit les zones où le quotient est positif ou nul : [formule] ⚠️ Les deux bornes ne se traitent pas de la même façon, et c'est tout l'enjeu : en x = -1, le dénominateur s'annule exclu, quoi qu'il arrive ; en x = 3, c'est le numérateur qui s'annule, donc le quotient vaut 0 inclus, car 0 = 0 existe.

   D_g = \, ]- \,;\, -1[ \; \; [3 \,;\, +[

5. Étape 5 : L'erreur classique : Inclure la valeur qui annule le dénominateur sous prétexte que l'inégalité est large ( 0). Une valeur interdite le reste quelle que soit l'inégalité : elle ne vient pas de la condition de signe, mais de l'impossibilité de diviser par zéro. Les deux conditions sont indépendantes et doivent toutes deux être respectées. À retenir : Le signe d'un quotient se lit exactement comme celui d'un produit. Seules les bornes diffèrent : racine du numérateur incluse si l'inégalité est large ; racine du dénominateur toujours exclue.