Parité de fonctions

Énoncé

Pour chaque fonction, déterminer si elle est paire, impaire ou ni l'un ni l'autre : a) f(x) = x^2 + 1 b) g(x) = x^3 - x c) h(x) = x^2 + x

Indice : Calcule f(-x). Si f(-x) = f(x), la fonction est paire. Si f(-x) = -f(x), elle est impaire.

Correction

1. Étape 1 : Un mot d'attention avant tout : « paire » ne veut pas dire « les exposants sont pairs ». C'est vrai pour les polynômes, mais c'est une conséquence, pas la définition — et s'en servir comme critère conduit à des erreurs dès qu'on sort des polynômes. Paire, impaire : f est paire si f(-x) = f(x) pour tout x — courbe symétrique par rapport à l'axe des ordonnées ; f est impaire si f(-x) = -f(x) pour tout x — courbe symétrique par rapport à l'origine. 👉 La méthode est toujours la même : calculer f(-x), puis le comparer à f(x) ET à -f(x). Si ça ne correspond à aucun des deux, la fonction n'est ni l'une ni l'autre — et c'est de loin le cas le plus fréquent.
2. Étape 2 : a) f(x) = x^2 + 1 f(-x) = (-x)^2 + 1 = x^2 + 1 On compare : c'est exactement f(x). Donc f est paire, et sa courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

   f(-x) = f(x) f paire

3. Étape 3 : b) g(x) = x^3 - x g(-x) = (-x)^3 - (-x) = -x^3 + x Ce n'est pas g(x). On le compare donc à -g(x) : -g(x) = -(x^3 - x) = -x^3 + x — c'est bien la même chose. Donc g est impaire, et sa courbe est symétrique par rapport à l'origine. ⚠️ La factorisation par -1 est l'étape qui manque le plus souvent : sans elle, on ne reconnaît pas -g(x) dans -x^3 + x.

   g(-x) = -g(x) g impaire

4. Étape 4 : c) h(x) = x^2 + x h(-x) = (-x)^2 + (-x) = x^2 - x On compare aux deux : h(x) = x^2 + x — différent, car -x +x (sauf en 0) ; -h(x) = -x^2 - x — différent aussi, car x^2 -x^2. Donc h n'est ni paire ni impaire. 👉 Un contre-exemple sur une seule valeur suffit d'ailleurs à conclure, et c'est plus rapide : h(1) = 2 et h(-1) = 0. Ces deux nombres ne sont ni égaux (donc pas paire) ni opposés (donc pas impaire).
5. Étape 5 : L'erreur classique : Conclure « ni paire ni impaire » après avoir comparé f(-x) à f(x) seulement, sans tester -f(x). C'est précisément ce qui ferait manquer la question b) : g(-x) = -x^3 + x ne ressemble pas à g(x), et l'on s'arrête — alors que c'est bien -g(x). Second piège : déclarer « paire » dès qu'on voit un x^2. La fonction h de la question c) en contient un et n'est pourtant ni l'une ni l'autre. À retenir : Calculer f(-x), comparer aux deux, conclure. 👉 Et pour réfuter, un seul contre-exemple suffit : deux valeurs opposées de x dont les images ne sont ni égales ni opposées. C'est beaucoup plus rapide que le calcul littéral, et tout aussi valable.