Résoudre graphiquement
Énoncé
Soit f(x) = x^2 - 2x - 3.
a) Vérifier que f(x) = (x - 3)(x + 1).
b) En déduire les antécédents de 0 par f.
c) Calculer f(-1), f(0), f(1), f(2), f(3).
d) Dresser le tableau de variations de f sur [-2 ; 4].
Indice : Pour vérifier a), développe le produit. Pour le tableau de variations, observe les valeurs calculées et repère le minimum.
Correction
- Étape 1 : L'énoncé fait le travail difficile à votre place : il donne la forme factorisée. La question a) ne demande que de la vérifier, et tout le reste en découle.
Vérifier une factorisation :
Toujours dans le sens du développement : partir du produit et retrouver la somme. C'est plus rapide et sans risque d'erreur — l'inverse, factoriser soi-même, demande une méthode qu'on n'a pas encore en Seconde.
👉 Et un résultat qui servira à la question d) : la courbe d'une fonction du type x^2 + bx + c est une parabole, symétrique par rapport à la verticale passant par son sommet. Le sommet se trouve donc au milieu des deux racines.
- Étape 2 : a) On développe le produit proposé :
(x-3)(x+1) = x^2 + x - 3x - 3 = x^2 - 2x - 3
C'est bien f(x) ✓
b) Un produit est nul si et seulement si l'un des facteurs l'est :
f(x) = 0 (x-3)(x+1) = 0 x = 3 \ ou \ x = -1
Les antécédents de 0 sont -1 et 3.
f(x) = 0 x = -1 \ ou \ x = 3
- Étape 3 : c) On calcule les cinq images demandées :
f(-1) = 0 (c'est une racine) · f(0) = -3 · f(1) = 1 - 2 - 3 = -4 · f(2) = 4 - 4 - 3 = -3 · f(3) = 0 (l'autre racine)
| x | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|
| f(x) | 0 | -3 | -4 | -3 | 0 |
👉 Les valeurs se lisent en miroir autour de x = 1 : 0, -3, -4, -3, 0. La plus basse est atteinte en x = 1.
- Étape 4 : d) Le sommet se trouve au milieu des racines, puisque la parabole est symétrique :
[formule]
C'est bien l'abscisse repérée dans le tableau, et f(1) = -4 est le minimum.
Aux bornes de l'intervalle demandé : f(-2) = 4 + 4 - 3 = 5 et f(4) = 16 - 8 - 3 = 5.
| x | -2 | | 1 | | 4 |
|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|
| f(x) | 5 | | -4 | | 5 |
f est décroissante sur [-2\,;\,1] puis croissante sur [1\,;\,4], avec un minimum de -4 en x = 1.
f = f(1) = -4
- Étape 5 : L'erreur classique :
Chercher le minimum en calculant beaucoup de valeurs au hasard, en espérant tomber sur la bonne.
Le milieu des racines le donne directement, sans aucun tâtonnement. Ici -1+3{2} = 1, et il ne reste qu'une image à calculer.
À retenir :
Vérifier une factorisation en développant, jamais l'inverse.
👉 Et la propriété qui remplace avantageusement les calculs : le sommet d'une parabole est au milieu de ses racines. Elle découle de la symétrie de la courbe, et elle est utilisable dès la Seconde.