Comparer des images

Énoncé

En utilisant les variations des fonctions de référence, comparer sans calculer : a) 7 et 11 b) (-3)^2 et (-5)^2 c) 1{4} et 1{7} d) (-2)^3 et (-1)^3

Indice : Utilise le sens de variation : si f est croissante et a < b, alors f(a) < f(b). Vérifie que les valeurs sont bien dans le même intervalle de monotonie.

Correction

1. Étape 1 : L'énoncé dit « sans calculer » : ce n'est pas une contrainte artificielle, c'est l'objet même de l'exercice. On compare des images en raisonnant sur les variations, pas en sortant la calculatrice. Ce qu'une fonction monotone fait à un ordre : f croissante : a < b f(a) < f(b) — l'ordre est conservé f décroissante : a < b f(a) > f(b) — l'ordre est renversé 👉 Il faut donc commencer par repérer sur quel intervalle on travaille. La fonction carré, par exemple, n'a pas le même sens de variation sur les négatifs et sur les positifs — et c'est précisément le piège de la question b).
2. Étape 2 : a) La fonction racine carrée est croissante sur [0\,;+[, et 7 et 11 y sont tous deux. Comme 7 < 11 et que l'ordre est conservé : [formule]

   7 < 11

3. Étape 3 : b) -3 et -5 sont négatifs, donc on travaille sur ]-\,;\,0] — où la fonction carré est décroissante. Comme -5 < -3 et que l'ordre est renversé : [formule] ⚠️ C'est le cœur de l'exercice : sur les négatifs, plus le nombre est petit, plus son carré est grand. Le raisonnement « -5 est plus petit, donc son carré aussi » est faux.

   (-5)^2 > (-3)^2

4. Étape 4 : c) La fonction inverse est décroissante sur ]0\,;+[, où se trouvent 4 et 7. Comme 4 < 7 et que l'ordre est renversé : [formule] d) La fonction cube, elle, est croissante sur R tout entier — c'est ce qui la distingue de la fonction carré, et cela évite d'avoir à discuter du signe. Comme -2 < -1 : [formule]

   1{4} > 1{7} ; (-2)^3 < (-1)^3

5. Étape 5 : L'erreur classique : Appliquer aux négatifs le sens de variation valable sur les positifs. Écrire « -5 < -3 donc (-5)^2 < (-3)^2 » donne 25 < 9, ce qui est manifestement faux. La fonction carré change de sens en 0 : elle décroît avant, croît après. Le contrôle qui l'attrape : un carré est toujours positif, et plus le nombre est loin de zéro — dans un sens ou dans l'autre — plus son carré est grand. À retenir : Trois questions dans l'ordre : quelle fonction ? sur quel intervalle ? quel sens de variation ? Puis conserver ou renverser l'ordre. 👉 Et retenir les deux comportements opposés : x^2 change de sens en 0 ; x^3 est croissante partout.