Lecture graphique de variations

Énoncé

La courbe d'une fonction f passe par les points A(-3 ; 2), B(-1 ; 5), C(1 ; -1) et D(4 ; 3). a) Quelle est l'image de -1 par f ? b) Quels sont les antécédents possibles de 3 par f (d'après les informations données) ? c) Si f est croissante sur [-3 ; -1] puis décroissante sur [-1 ; 1], que peut-on dire du point B ?

Indice : L'image d'un nombre a est l'ordonnée f(a). Un antécédent de b est un x tel que f(x) = b.

Correction

1. Étape 1 : Aucun calcul ici : tout se lit sur les points donnés. Il faut seulement savoir ce que chaque coordonnée représente. Un point de la courbe : Si M(a\,;\,b) est sur la courbe de f, alors f(a) = b. L'abscisse est la valeur de x, l'ordonnée est la valeur de f(x). 👉 Donc chercher une image revient à lire une ordonnée ; chercher un antécédent revient à lire une abscisse. C'est le même vocabulaire que dans le premier exercice, transposé au graphique. ⚠️ Et une précaution que la question b) impose : on ne connaît que quatre points, pas la courbe entière. Il faut donc dire ce qu'on peut affirmer et ce qu'on ne peut pas.
2. Étape 2 : a) Le point B(-1\,;\,5) est sur la courbe. Son abscisse est -1, son ordonnée 5, donc [formule] L'image de -1 par f est 5.

   f(-1) = 5

3. Étape 3 : b) On cherche les x tels que f(x) = 3, c'est-à-dire les points d'ordonnée 3. Parmi les quatre points donnés, seul D(4\,;\,3) convient. Donc 4 est un antécédent de 3. ⚠️ Mais on ne peut pas affirmer que c'est le seul : entre deux points connus, la courbe peut très bien repasser par l'ordonnée 3. Avec quatre points, on connaît quatre valeurs — pas la fonction. La réponse correcte est donc : « 4 est un antécédent de 3 ; il peut y en avoir d'autres, que les données ne permettent pas de déterminer. »
4. Étape 4 : c) f est croissante sur [-3\,;\,-1] puis décroissante sur [-1\,;\,1] : elle monte jusqu'en -1, puis redescend. La valeur atteinte en -1 est donc plus grande que toutes celles qui l'entourent : c'est un maximum, et il vaut f(-1) = 5. [formule] 👉 C'est le repère général : un changement de sens de variation signale toujours un extremum. Croissante puis décroissante maximum ; décroissante puis croissante minimum.

   maximum f(-1) = 5

5. Étape 5 : L'erreur classique : Affirmer en b) que 4 est le seul antécédent de 3. Quatre points ne décrivent pas une courbe. Répondre avec certitude sur ce qu'on ne connaît pas est une faute de raisonnement, et les correcteurs y sont attentifs — c'est même l'objet caché de la question. À retenir : Sur un graphique : image = ordonnée (on part de x), antécédent = abscisse (on part de f(x)). Un changement de sens de variation signale un extremum : maximum si l'on montait, minimum si l'on descendait. 👉 Et ne jamais affirmer plus que ce que les données permettent.