Ensemble de définition

Énoncé

Déterminer l'ensemble de définition des fonctions suivantes : a) f(x) = 3{x + 2} b) g(x) = x - 4 c) h(x) = 1{x^2 - 9}

Indice : On ne peut pas diviser par zéro, et on ne peut pas prendre la racine carrée d'un nombre négatif.

Correction

1. Étape 1 : L'ensemble de définition, c'est l'ensemble des x pour lesquels le calcul de f(x) a un sens. En Seconde, deux opérations seulement peuvent l'empêcher. Les deux interdits : Diviser par zéro tout dénominateur doit être non nul. Prendre la racine d'un négatif ce qui est sous \ doit être positif ou nul. 👉 D'où la méthode : repérer les dénominateurs et les racines, poser la condition correspondante, résoudre. S'il n'y a ni l'un ni l'autre, la fonction est définie sur R tout entier.
2. Étape 2 : a) f(x) = 3{x+2} : un dénominateur, donc une condition de non-annulation. x + 2 0 x -2 [formule] La notation R \{-2\} se lit « R privé de -2 ». On peut aussi écrire ]-\,;\,-2[ \, \, ]-2\,;\,+[.

   D_f = R \{-2\}

3. Étape 3 : b) g(x) = x-4 : une racine, donc une condition de positivité. x - 4 0 x 4 [formule] ⚠️ Le crochet est fermé en 4 : 0 = 0 existe parfaitement. La condition est « positif ou nul », pas « strictement positif ».

   D_g = [4 \,;\, +[

4. Étape 4 : c) h(x) = 1{x^2-9} : un dénominateur, mais qui s'annule pour deux valeurs. x^2 - 9 0. Or x^2 - 9 = (x-3)(x+3), qui s'annule en 3 et en -3. [formule] 👉 Factoriser est ici le geste sûr : chercher « x^2 9 » puis conclure « x 3 » fait oublier la solution négative une fois sur deux.

   D_h = R \{-3 \,;\, 3\}

5. Étape 5 : L'erreur classique : Oublier la valeur négative en c). x^2 = 9 a deux solutions, 3 et -3 : un carré ne distingue pas les deux signes. Second piège : exclure la borne en b) et écrire ]4\,;+[. La racine de zéro existe, donc 4 fait bien partie de l'ensemble de définition. À retenir : Deux interdits, deux conditions : dénominateur 0, sous la racine 0. 👉 Et quand une fonction contient les deux (une racine au dénominateur, par exemple), il faut les cumuler — c'est l'objet des exercices de fin de chapitre.