Convexité et étude complète

Énoncé

Étudier la convexité de la fonction f(x) = x^4 - 4x^2 et déterminer ses points d'inflexion.

Indice : Calcule f'', détermine son signe, puis identifie les points où f'' s'annule et change de signe.

Correction

1. Étape 1 : Une étude de convexité avec deux points d'inflexion — et des valeurs irrationnelles, qu'il faut manipuler proprement. 👉 La méthode ne change pas : f'', ses racines, son signe, les ordonnées. La seule difficulté est algébrique : x^2 = 2{3} donne x = {2{3}}, qu'il faut savoir écrire sous forme simplifiée. Simplifier une racine de fraction : [formule] ⚠️ On multiplie haut et bas par 3 pour ne plus avoir de racine au dénominateur — c'est la convention d'écriture attendue.
2. Étape 2 : f(x) = x^4 - 4x^2. On dérive deux fois : f'(x) = 4x^3 - 8x = 4x(x^2-2) f''(x) = 12x^2 - 8 = 4(3x^2 - 2) Les racines de f'' : 3x^2 - 2 = 0 x^2 = 2{3} x = {2{3}} = 6{3} [formule]

   f''(x) = 4(3x^2-2) \ ; x = 6{3}

3. Étape 3 : Le signe de f''. C'est un trinôme en x^2 de coefficient dominant 12 > 0 : il est positif à l'extérieur de ses racines. | x | - | | -6{3} | | 6{3} | | + | |:---|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:| | f'' | | + | 0 | - | 0 | + | | | f | | convexe | | concave | | convexe | | Contrôle par une valeur : f''(0) = -8 < 0 ✓ (concave au centre) et f''(1) = 12-8 = 4 > 0 ✓ (convexe au-delà). f'' change de signe aux deux racines : ce sont donc bien deux points d'inflexion.

   f''(0) = -8 < 0 \ ; f''(1) = 4 > 0

4. Étape 4 : Les ordonnées. On calcule f en x^2 = 2{3} — inutile de distinguer les deux racines, puisque f ne dépend que de x^2 : f = (x^2)^2 - 4x^2 = (2{3})^2 - 4 2{3} = 4{9} - 8{3} Au dénominateur commun 9 : = 4{9} - 24{9} = -20{9} -2{,}22 [formule] 👉 Astuce de calcul : écrire f en fonction de x^2 évite d'élever 6{3} à la puissance 4. Les deux points ont d'ailleurs la même ordonnée, ce qui est normal — f est paire, donc sa courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

   ordonnée commune -20{9}

5. Étape 5 : 👉 Ce que la courbe fait, en une phrase. f(x) = x^4 - 4x^2 est convexe aux extrémités, concave au centre : elle a la forme d'un W — deux creux de part et d'autre d'une bosse locale en x = 0. Les points d'inflexion sont les endroits où la courbe passe du creux à la bosse. ℹ️ Vérification par les variations : f'(x) = 4x(x^2-2) s'annule en -2, 0 et 2. Il y a bien deux minimums (en 2 1{,}41) et un maximum local en 0 — le W est confirmé. Et les inflexions ( 0{,}816) sont bien entre le maximum central et les minimums latéraux ✓ L'erreur classique : Écrire x = 2{3} et s'arrêter là, ou calculer (6{3})^4 à la main. Une racine au dénominateur ne s'écrit pas ; et pour l'ordonnée, il suffit de remplacer x^2 par 2{3} dans f = (x^2)^2 - 4x^2. Deux réflexes qui évitent des calculs pénibles et fautifs. À retenir : {a{b}} = {ab}{b} — on rationalise le dénominateur. 👉 Et pour une fonction paire, les points d'inflexion vont par paires symétriques, de même ordonnée : un seul calcul suffit pour les deux.