Convexité et étude complète

Énoncé

Étudier la convexité de la fonction f(x) = x^4 - 4x^2 et déterminer ses points d'inflexion.

Indice : Calcule f'', détermine son signe, puis identifie les points où f'' s'annule et change de signe.

Correction

1. Étape 1 : On calcule les dérivées successives :

   f'(x) = 4x^3 - 8x = 4x(x^2 - 2)

2. Étape 2 :

   f''(x) = 12x^2 - 8 = 4(3x^2 - 2)

3. Étape 3 : On résout f''(x) = 0 :

   3x^2 - 2 = 0 x^2 = 2{3} x = -{6}{3} ou x = {6}{3}

4. Étape 4 : On détermine le signe de f'' :

   - Pour x < -{6}{3} : f''(x) > 0 (convexe)

5. Étape 5 :

   - Pour -{6}{3} < x < {6}{3} : f''(x) < 0 (concave)

6. Étape 6 :

   - Pour x > {6}{3} : f''(x) > 0 (convexe)

7. Étape 7 : Comme f'' change de signe en x = -{6}{3} et en x = {6}{3}, ces deux points sont des **points d'inflexion**.
8. Étape 8 : On calcule les ordonnées :

   f(-{6}{3}) = f({6}{3}) = -20{9}