Optimisation avec dérivation

Énoncé

On considère un rectangle de périmètre 20 cm. Déterminer les dimensions du rectangle d'aire maximale.

Indice : Soit x la largeur et y la longueur. Exprime y en fonction de x grâce au périmètre, puis exprime l'aire A(x) et maximise cette fonction.

Correction

1. Étape 1 : Soit x la largeur et y la longueur. Le périmètre est 2x + 2y = 20, donc y = 10 - x.
2. Étape 2 : L'aire est A(x) = x y = x(10 - x) = 10x - x^2, avec x ]0, 10[.
3. Étape 3 : On calcule la dérivée :

   A'(x) = 10 - 2x = 2(5 - x)

4. Étape 4 : On résout A'(x) = 0 : x = 5.
5. Étape 5 : Pour x < 5 : A'(x) > 0 (fonction croissante). Pour x > 5 : A'(x) < 0 (fonction décroissante).
6. Étape 6 : Le maximum est atteint en x = 5, donc y = 10 - 5 = 5.
7. Étape 7 : **Le rectangle d'aire maximale est un carré de côté 5 cm.**