Optimisation avec dérivation

Énoncé

On considère un rectangle de périmètre 20 cm. Déterminer les dimensions du rectangle d'aire maximale.

Indice : Soit x la largeur et y la longueur. Exprime y en fonction de x grâce au périmètre, puis exprime l'aire A(x) et maximise cette fonction.

Correction

1. Étape 1 : Un problème d'optimisation, et c'est la mise en équation qui décide de tout. Optimiser sous contrainte : 1. écrire la contrainte et s'en servir pour éliminer une variable ; 2. exprimer la quantité à optimiser en fonction d'une seule variable ; 3. préciser le domaine de cette variable ; 4. dériver, annuler, étudier le signe ; 5. revenir au problème concret. 👉 L'étape 1 est celle qu'on rate : sans elle, l'aire dépend de deux variables et l'on ne peut pas dériver. ⚠️ Et l'étape 3 n'est pas décorative : elle traduit que les deux dimensions doivent rester strictement positives.
2. Étape 2 : La contrainte. Soit x la largeur et y la longueur. Le périmètre vaut 20 : 2x + 2y = 20 x + y = 10 y = 10 - x La quantité à optimiser, exprimée en fonction de x seul : [formule] Le domaine : il faut x > 0 et y = 10 - x > 0, donc [formule]

   A(x) = 10x - x^2 sur ]0\,;10[

3. Étape 3 : La dérivation : A'(x) = 10 - 2x = 2(5-x) A'(x) = 0 x = 5 Le signe : le coefficient de x est -2 < 0, donc A' est positive avant 5 et négative après. A croît puis décroît : elle atteint un maximum en x = 5. 👉 Contrôle indépendant : A(x) = 10x - x^2 est un trinôme de coefficient dominant -1 < 0 — une parabole en colline, dont le sommet est en x = -b{2a} = -10{-2} = 5 ✓

   x = 5 (maximum)

4. Étape 4 : Le retour au problème concret : y = 10 - 5 = 5 [formule] 👉 Le résultat n'est pas un hasard, et il est général : parmi tous les rectangles de périmètre donné, c'est le carré qui a la plus grande aire. C'est un cas particulier d'un principe qui court dans toute la géométrie — à périmètre fixé, la forme la plus « ronde » maximise l'aire (et le maximum absolu est atteint par le cercle). ℹ️ Comparaison : un rectangle 2 8 a le même périmètre et une aire de 16 cm², soit 36 % de moins que le carré.

   x = y = 5 cm \ ; A_{} = 25 cm^2

5. Étape 5 : L'erreur classique : Tenter de dériver A = xy « par rapport à x » en traitant y comme une constante. y dépend de x — c'est tout l'objet de la contrainte. On obtiendrait A' = y, qui ne s'annule jamais pour y > 0 : on conclurait qu'il n'y a pas de maximum. 👉 La contrainte sert à ÉLIMINER une variable, pas à être oubliée. C'est l'étape 1, et elle conditionne tout le reste. À retenir : Contrainte élimination une seule variable dérivée. 👉 Et revenir au concret : « x = 5 » ne répond pas à la question, « un carré de 5 cm de côté » si.