Point d'inflexion

Énoncé

Déterminer les points d'inflexion de la fonction f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x.

Indice : Calcule f'', résous f''(x) = 0, puis vérifie que f'' change de signe en ces points.

Correction

1. Étape 1 : Un point d'inflexion est un point où la courbe change de courbure — elle passe de creuse à bombée, ou l'inverse. Trouver les points d'inflexion : 1. calculer f'' ; 2. résoudre f''(x) = 0 ; 3. ⚠️ vérifier que f'' CHANGE DE SIGNE — c'est l'étape décisive ; 4. calculer l'ordonnée du point. ⚠️⚠️ L'étape 3 n'est pas une formalité. Une dérivée seconde peut s'annuler sans changer de signe — et il n'y a alors aucun point d'inflexion. Exemple : f(x) = x^4 a f''(x) = 12x^2, qui s'annule en 0 mais reste positive de part et d'autre. La courbe reste convexe, il n'y a pas d'inflexion. 👉 « f'' = 0 » est donc une condition nécessaire mais pas suffisante.
2. Étape 2 : f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x. On dérive deux fois : f'(x) = 3x^2 - 6x + 2 f''(x) = 6x - 6 = 6(x-1) [formule]

   f''(x) = 6(x-1)

3. Étape 3 : Le changement de signe — l'étape décisive. f''(x) = 6(x-1) est une fonction affine de coefficient directeur 6 > 0 : elle passe donc du négatif au positif en traversant 1. | x | - | | 1 | | + | |:---|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:| | f'' | | - | 0 | + | | | f | | concave | | convexe | | f'' change bien de signe : il y a donc un point d'inflexion.

   f'' change de signe en x = 1

4. Étape 4 : L'ordonnée — un point a deux coordonnées : f(1) = 1 - 3 + 2 = 0 [formule] 👉 Interprétation géométrique : avant x = 1 la courbe est concave (elle tourne vers le bas), après elle est convexe (elle tourne vers le haut). En A, elle traverse sa propre tangente — c'est la caractérisation visuelle d'une inflexion. ℹ️ Pour un polynôme de degré 3, f'' est toujours affine : elle s'annule une fois et change nécessairement de signe. Toute cubique a donc exactement un point d'inflexion — et son abscisse est le milieu des deux extremums quand ils existent.

   A(1\,;0)

5. Étape 5 : L'erreur classique : Conclure à un point d'inflexion dès que f''(x) = 0, sans vérifier le changement de signe. Le contre-exemple à retenir : f(x) = x^4, où f''(x) = 12x^2 0 s'annule en 0 sans changer de signe. La courbe y est plate un instant mais reste convexe — aucune inflexion. 👉 Un carré, ou toute puissance paire, ne change jamais de signe. C'est le cas à guetter. À retenir : f'' = 0 est nécessaire mais pas suffisant : il faut le changement de signe. 👉 Et un point d'inflexion a deux coordonnées : calculer f à cette abscisse fait partie de la réponse.