Point d'inflexion

Énoncé

Déterminer les points d'inflexion de la fonction f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x.

Indice : Calcule f'', résous f''(x) = 0, puis vérifie que f'' change de signe en ces points.

Correction

1. Étape 1 : On calcule les dérivées successives :

   f'(x) = 3x^2 - 6x + 2

2. Étape 2 :

   f''(x) = 6x - 6 = 6(x - 1)

3. Étape 3 : On résout f''(x) = 0 : x = 1.
4. Étape 4 : On vérifie le changement de signe :

   - Pour x < 1 : f''(x) < 0 (fonction concave)

5. Étape 5 :

   - Pour x > 1 : f''(x) > 0 (fonction convexe)

6. Étape 6 : Comme f'' change de signe en x = 1, le point A(1, f(1)) = A(1, 0) est un **point d'inflexion**.