Étude complète d'une fonction rationnelle

Énoncé

Étudier complètement la fonction f(x) = x^2 - 1{x} et dresser son tableau de variation.

Indice : Détermine le domaine, calcule les limites, la dérivée, puis construis le tableau.

Correction

1. Étape 1 : **Domaine de définition** : D_f = R^* (car x 0).
2. Étape 2 : **Limites** :

   - _{x 0^-} f(x) = + et _{x 0^+} f(x) = -

3. Étape 3 : Asymptote verticale : x = 0.
4. Étape 4 : Pour les limites en , on simplifie :

   f(x) = x^2 - 1{x} = x - 1{x}

5. Étape 5 :

   _{x } f(x) =

6. Étape 6 : Asymptote oblique : y = x (car _{x } [f(x) - x] = 0).
7. Étape 7 : **Dérivée** :

   f'(x) = 2x x - (x^2 - 1) 1{x^2} = 2x^2 - x^2 + 1{x^2} = x^2 + 1{x^2} > 0

8. Étape 8 : Comme f'(x) > 0 pour tout x R^*, la fonction est **strictement croissante** sur ]-, 0[ et sur ]0, +[.