Étude complète d'une fonction rationnelle
Énoncé
Étudier complètement la fonction f(x) = x^2 - 1{x} et dresser son tableau de variation.
Indice : Détermine le domaine, calcule les limites, la dérivée, puis construis le tableau.
Correction
- Étape 1 : Une étude complète de fonction rationnelle. Un seul geste préalable simplifie tout le reste :
Décomposer la fraction :
[formule]
👉 Sous cette forme, l'asymptote oblique se lit (f(x) - x = -1{x} 0), la dérivée est immédiate, et les limites en deviennent évidentes.
⚠️ C'est un réflexe général sur les fractions rationnelles : chercher si le numérateur se décompose par le dénominateur, avant toute autre chose.
- Étape 2 : Le domaine. Il faut x 0 :
[formule]
Les limites en 0, sur la forme décomposée f(x) = x - 1{x}. C'est le terme -1{x} qui domine, puisque x 0 :
en 0^+ : -1{x} -, donc f(x) -
en 0^- : -1{x} +, donc f(x) +
[formule]
_{0^-} f = + \ ; _{0^+} f = -
- Étape 3 : Les limites en . Le terme -1{x} tend vers 0, donc f se comporte comme x :
_{x -} f(x) = - et _{x +} f(x) = +
L'asymptote oblique. On calcule l'écart entre la courbe et la droite y = x :
[formule]
[formule]
👉 Le signe de l'écart dit de quel côté : -1{x} < 0 pour x > 0, donc la courbe est sous l'asymptote à droite ; et au-dessus à gauche.
y = x asymptote oblique
- Étape 4 : La dérivée, immédiate sur la forme décomposée :
f(x) = x - x^{-1}, donc f'(x) = 1 + x^{-2}
[formule]
Numérateur et dénominateur sont strictement positifs pour tout x 0 :
[formule]
⚠️ f est croissante sur CHACUN de ses deux intervalles — pas sur R^* tout entier. La distinction est essentielle : f(-1) = 0 et f(1) = 0, donc f n'est pas croissante « globalement ». Une fonction n'est croissante que sur un intervalle, et R^* n'en est pas un.
f'(x) = x^2+1{x^2} > 0
- Étape 5 : Le tableau de variations — que l'énoncé demande, et qu'il faut donc écrire :
| x | - | | 0 | | + |
|:---|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|
| f' | | + | \|\| | + | |
| f | - | | + \ \| \ - | | + |
La double barre marque la valeur interdite : la fonction n'y est pas définie, et le tableau se lit en deux morceaux séparés.
👉 La fonction monte de - à + sur la branche gauche, puis recommence de - à + sur la droite. Elle prend donc deux fois chaque valeur réelle — une fois sur chaque branche.
ℹ️ Conséquence directe : l'équation f(x) = k a exactement deux solutions pour tout réel k. On peut le vérifier : x - 1{x} = k donne x^2 - kx - 1 = 0, de discriminant k^2 + 4 > 0 toujours ✓
f(x) = k a deux solutions pour tout k
- Étape 6 : L'erreur classique :
Écrire « f est croissante sur R^* ».
R^* n'est pas un intervalle : c'est une réunion de deux intervalles disjoints. Et le contre-exemple est immédiat — f(-1) = -1 + 1 = 0 et f(1) = 1 - 1 = 0, donc f(-1) = f(1) alors que -1 < 1. Une fonction croissante ne peut pas faire cela.
👉 Toujours écrire « croissante SUR chacun des intervalles », et le tableau doit porter une double barre à la valeur interdite.
À retenir :
Décomposer la fraction d'abord : x^2-1{x} = x - 1{x} donne l'asymptote, la dérivée et les limites d'un coup.
👉 Et une fonction ne peut être croissante que sur un intervalle — jamais sur une réunion d'intervalles disjoints.