Dérivée d'une fonction composée complexe

Énoncé

Calculer la dérivée de f(x) = e^{x^2 + 3x - 1}.

Indice : Utilise la formule [e^{u(x)}]' = u'(x) e^{u(x)} avec u(x) = x^2 + 3x - 1.

Correction

1. Étape 1 : Même formule que l'exponentielle affine, avec un exposant polynomial — et c'est la seule différence. Dériver une exponentielle : [formule] 👉 La formule ne dépend pas de la complexité de u : que u soit 2x+1 ou x^2+3x-1, on procède identiquement. C'est ce qui rend cette formule si commode. ⚠️ Le seul point d'attention est le calcul de u' lui-même, qu'on fait à part avant d'appliquer la formule.
2. Étape 2 : Ligne 1 — on pose u(x) = x^2 + 3x - 1. Ligne 2 — on dérive ce polynôme terme par terme : u'(x) = 2x + 3 Ligne 3 — on applique : [formule] ⚠️ Les parenthèses autour de 2x+3 sont indispensables : sans elles, on lirait 2x + 3e^{}, ce qui est une expression entièrement différente.

   f'(x) = (2x+3)\,e^{x^2+3x-1}

3. Étape 3 : Ce que la dérivée apprend sur la fonction. e^{x^2+3x-1} > 0 pour tout réel — une exponentielle ne s'annule jamais. Donc f' est du signe de 2x+3 : f' < 0 pour x < -3{2} · f' > 0 pour x > -3{2} f admet donc un minimum global en x = -3{2}. 👉 Contrôle par la structure : f = e^{u} avec u un trinôme de coefficient dominant positif, donc u a un minimum en -b{2a} = -3{2}. Et étant croissante, elle préserve les variations : f a son minimum au même endroit ✓ Les deux raisonnements concordent, et le second ne demande aucune dérivation.

   f' du signe de 2x+3

4. Étape 4 : L'erreur classique : Oublier les parenthèses, ou « dériver l'exposant » en remplaçant e^{x^2+3x-1} par e^{2x+3}. L'exposant est conservé à l'identique ; sa dérivée apparaît en facteur devant. Le contrôle de forme le dit : la dérivée doit contenir la même exponentielle que la fonction. À retenir : (e^u)' = u'e^u, quelle que soit la complexité de u. 👉 Et préserve les variations : e^u a ses extremums là où u a les siens. Un contrôle qui dispense de dériver.