Convexité simple

Énoncé

Déterminer la convexité de la fonction f(x) = x^2 - 2x + 1 sur R.

Indice : Calcule la dérivée seconde f'' et détermine son signe.

Correction

1. Étape 1 : La convexité décrit la courbure : la courbe tourne-t-elle vers le haut ou vers le bas ? Convexité et dérivée seconde : f'' > 0 f est convexe (courbe « en creux », tournée vers le haut) f'' < 0 f est concave (courbe « en bosse ») f'' change de signe point d'inflexion 👉 Ne pas confondre avec les variations. f' dit si la courbe monte ; f'' dit si elle se creuse. Une fonction peut parfaitement monter en étant concave — elle monte alors de moins en moins vite. ℹ️ Moyen mnémotechnique : convexe = con-CAVE inversé… ou plus simplement, une fonction convexe retient l'eau (comme x^2), une concave la laisse couler (comme -x^2).
2. Étape 2 : f(x) = x^2 - 2x + 1. On dérive deux fois : f'(x) = 2x - 2 f''(x) = 2 [formule] La dérivée seconde est une constante strictement positive : elle ne change jamais de signe. [formule]

   f''(x) = 2 > 0 f convexe

3. Étape 3 : 👉 Contrôle immédiat, sans calcul : f(x) = x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2 est une parabole en forme de vallée (coefficient de x^2 positif). Une vallée est convexe ✓ Et c'est général : pour un trinôme ax^2+bx+c, on a f'' = 2a. La convexité est donc entièrement décidée par le signe de a : a > 0 vallée, convexe partout ; a < 0 colline, concave partout. ⚠️ Un trinôme n'a JAMAIS de point d'inflexion : sa dérivée seconde est constante, donc elle ne peut pas changer de signe. Chercher un point d'inflexion sur une parabole est une perte de temps.

   f'' = 2a pour un trinôme ax^2+bx+c

4. Étape 4 : L'erreur classique : Confondre convexité et sens de variation. Ici f est convexe partout, alors qu'elle décroît avant x = 1 et croît après. Les deux notions sont indépendantes : | | f' < 0 | f' > 0 | |:---|:---|:---| | f'' > 0 | descend en ralentissant | monte en accélérant | | f'' < 0 | descend en accélérant | monte en ralentissant | 👉 Les quatre combinaisons existent, et il faut les deux informations pour décrire une courbe. À retenir : f' dit si ça monte, f'' dit si ça se creuse. Deux questions indépendantes. 👉 Et pour un trinôme, f'' = 2a : la convexité se lit sur le coefficient dominant, sans dériver.