Images et antécédents

Énoncé

Soit f(x) = 2x - 5. a) Calculer f(3), f(-1) et f(0). b) Déterminer le(s) antécédent(s) de 7 par f. c) Déterminer le(s) antécédent(s) de -3 par f.

Indice : Pour l'image, remplace x par la valeur. Pour l'antécédent de k, résous f(x) = k.

Correction

1. Étape 1 : Deux mots à ne jamais confondre, et tout le chapitre repose dessus. Image et antécédent : L'image de a est le nombre f(a) : on remplace x par a et l'on calcule. Un antécédent de b est un nombre x tel que f(x) = b : on résout une équation. 👉 Le repère qui les sépare : chercher une image est un calcul (une seule réponse, toujours), chercher un antécédent est une résolution (zéro, une, ou plusieurs réponses). C'est pourquoi la question a) est immédiate, alors que les questions b) et c) demandent de résoudre une équation.
2. Étape 2 : a) On remplace x par chaque valeur dans f(x) = 2x - 5 : f(3) = 2 3 - 5 = 6 - 5 = 1 f(-1) = 2 (-1) - 5 = -2 - 5 = -7 f(0) = 2 0 - 5 = -5 ⚠️ En -1, bien mettre la parenthèse : 2 (-1) = -2, et non -2 - 5 = -7 obtenu par hasard en oubliant un signe.

   f(3) = 1 ; f(-1) = -7 ; f(0) = -5

3. Étape 3 : b) Chercher l'antécédent de 7, c'est résoudre f(x) = 7 : 2x - 5 = 7 2x = 12 x = 6 L'antécédent de 7 est 6. Contrôle : f(6) = 2 6 - 5 = 7 ✓

   x = 6

4. Étape 4 : c) Même geste avec -3 : 2x - 5 = -3 2x = 2 x = 1 L'antécédent de -3 est 1, puisque c'est la seule valeur de x qui donne -3. Contrôle : f(1) = 2 - 5 = -3 ✓ 👉 Ici chaque nombre a exactement un antécédent, parce que f est une fonction affine de coefficient non nul. Ce ne sera plus vrai avec x^2, où 4 a deux antécédents (2 et -2) et -1 n'en a aucun.

   x = 1

5. Étape 5 : L'erreur classique : Confondre les deux sens et calculer f(7) quand on demande l'antécédent de 7. Le repère infaillible : dans « image de 3 », le 3 est la valeur de x ; dans « antécédent de 7 », le 7 est la valeur de f(x). Le nombre donné n'est pas au même endroit. À retenir : Image on remplace, c'est un calcul, il y a toujours une réponse et une seule. Antécédent on résout, il peut y en avoir zéro, un ou plusieurs. 👉 Et le contrôle qui ne coûte rien : après avoir trouvé un antécédent, calculer son image pour vérifier qu'on retombe sur le nombre de départ.