Dérivée avec logarithme

Énoncé

Calculer la dérivée de f(x) = (x^2 + 4).

Indice : Utilise la formule [(u(x))]' = u'(x){u(x)} avec u(x) = x^2 + 4.

Correction

1. Étape 1 : Le logarithme composé, dernière des formules de dérivation composée. Dériver un logarithme : [formule] 👉 Comparer les trois formules composées éclaire leur logique : (e^u)' = u'\,e^u — le u' devant ( u)' = u'{2 u} — le u' au numérateur ( u)' = u'{u} — le u' au numérateur Dans les trois cas, u' apparaît en facteur ; seule sa place change. ⚠️ Et la formule exige u > 0, sans quoi u n'existe pas.
2. Étape 2 : u(x) = x^2 + 4, donc u'(x) = 2x. [formule] 👉 Le domaine : x^2 + 4 4 > 0 pour tout réel, donc f est définie et dérivable sur R tout entier. Un « + constante positive » suffit à rendre l'argument toujours positif — c'est un cas fréquent, et confortable.

   f'(x) = 2x{x^2+4}

3. Étape 3 : Le signe et les variations. Le dénominateur x^2+4 est strictement positif, donc f' est du signe de 2x, c'est-à-dire du signe de x : f décroît sur ]-\,;0], croît sur [0\,;+[. Minimum en x = 0 : f(0) = (4) 1{,}39. 👉 Contrôle de cohérence : est croissante, donc (u) varie comme u. Or x^2 + 4 est minimal en 0 — le minimum de f y est donc attendu ✓ C'est un raisonnement qui évite tout calcul : composer par une fonction croissante préserve les variations.

   f = f(0) = 4

4. Étape 4 : L'erreur classique : Écrire f'(x) = 1{x^2+4} — le u' oublié pour la troisième fois du chapitre. C'est toujours la même erreur, sur les trois formules composées. Et elle produit ici une dérivée toujours positive, donc une fonction toujours croissante — alors qu'elle a manifestement un minimum en 0. 👉 Le contrôle universel : la fonction (x^2+4) varie comme x^2+4, qui a un minimum en 0. Toute dérivée qui ne change pas de signe en 0 est fausse. À retenir : ( u)' = u'{u} — u' au numérateur, contrairement à l'exponentielle où il est devant. 👉 Et composer par une fonction croissante (, \ , ) préserve les variations : c'est un contrôle qui dispense souvent de dériver.