Tableau de variation
Énoncé
Étudier les variations de la fonction f(x) = x^3 - 3x + 2 et dresser son tableau de variation.
Indice : Calcule f', détermine son signe, puis construis le tableau avec les valeurs remarquables.
Correction
- Étape 1 : Une étude complète, qui rassemble tout le chapitre. La méthode ne varie jamais.
Dresser un tableau de variations :
1. dériver et factoriser ;
2. résoudre f'(x) = 0 ;
3. étudier le signe de f' ;
4. calculer les valeurs aux extremums ;
5. calculer les limites aux bornes ;
6. rassembler dans le tableau.
👉 L'étape 4 donne les nombres à l'intérieur du tableau, l'étape 5 ceux aux extrémités. Sans elles, le tableau n'a que des flèches et ne dit rien de quantitatif.
- Étape 2 : f(x) = x^3 - 3x + 2, donc
f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x^2-1)
On factorise avec l'identité a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) :
[formule]
f'(x) = 0 x = -1 ou x = 1
f'(x) = 3(x-1)(x+1)
- Étape 3 : Le signe. Le trinôme x^2 - 1 a un coefficient dominant positif : il est positif à l'extérieur des racines, négatif entre elles.
Les valeurs aux points où f' s'annule :
f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) + 2 = -1 + 3 + 2 = 4
f(1) = 1 - 3 + 2 = 0
Les limites : pour un polynôme, elles sont celles du terme de plus haut degré x^3 :
_{x -} f(x) = - et _{x +} f(x) = +
f(-1) = 4 \ ; f(1) = 0
- Étape 4 : Le tableau :
| x | - | | -1 | | 1 | | + |
|:---|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|
| f' | | + | 0 | - | 0 | + | |
| f | - | | 4 | | 0 | | + |
Maximum local en -1 (valeur 4) · minimum local en 1 (valeur 0).
👉 « Local » et non « global » : la fonction dépasse largement 4 pour x grand, et descend bien en dessous de 0 pour x très négatif. Un extremum local ne se compare qu'à son voisinage.
ℹ️ Lecture supplémentaire : f(1) = 0 signifie que la courbe touche l'axe des abscisses en x=1 sans le traverser (c'est un minimum). L'équation f(x) = 0 a donc une racine double en 1 — et effectivement, x^3-3x+2 = (x-1)^2(x+2).
max local 4 \ ; min local 0
- Étape 5 : L'erreur classique :
Dresser le tableau avec les seules flèches, sans les valeurs ni les limites.
Un tableau sans nombres ne permet pas de répondre aux questions qui suivent — combien de solutions à f(x) = 2 ? la fonction est-elle toujours positive ? Les valeurs sont l'information, les flèches ne sont que la forme.
👉 Et pour un polynôme, les limites sont celles du terme dominant : aucun calcul, une lecture.
À retenir :
Six étapes, dont deux qu'on saute : les valeurs des extremums et les limites aux bornes.
👉 Et « local » ne veut pas dire « global » : ici le maximum local vaut 4, alors que la fonction monte jusqu'à +.