Tableau de variation

Énoncé

Étudier les variations de la fonction f(x) = x^3 - 3x + 2 et dresser son tableau de variation.

Indice : Calcule f', détermine son signe, puis construis le tableau avec les valeurs remarquables.

Correction

1. Étape 1 : On calcule la dérivée :

   f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1) = 3(x - 1)(x + 1)

2. Étape 2 : On résout f'(x) = 0 : x = -1 ou x = 1.
3. Étape 3 : On détermine le signe de f' :

   - Pour x < -1 : f'(x) > 0 (fonction croissante)

4. Étape 4 :

   - Pour -1 < x < 1 : f'(x) < 0 (fonction décroissante)

5. Étape 5 :

   - Pour x > 1 : f'(x) > 0 (fonction croissante)

6. Étape 6 : On calcule les valeurs : f(-1) = 4 et f(1) = 0.
7. Étape 7 : On calcule les limites : _{x -} f(x) = - et _{x +} f(x) = +.
8. Étape 8 : **Tableau de variation** :

   array{c|ccccc} x & - & & -1 & & 1 & & + f'(x) & & + & 0 & - & 0 & + & f(x) & - & & 4 & & 0 & & + array