Dérivée d'un quotient

Énoncé

Calculer la dérivée de f(x) = x{x^2 + 1}.

Indice : Utilise la formule du quotient : (u{v})' = u'v - uv'{v^2} avec u(x) = x et v(x) = x^2 + 1.

Correction

1. Étape 1 : Le quotient, dont la formule ressemble à celle du produit avec deux différences importantes. Dérivée d'un quotient : [formule] 👉 Deux choses changent par rapport au produit : un signe moins au numérateur, et un dénominateur v^2. ⚠️ L'ORDRE des termes compte, à cause du signe moins : c'est u'v moins uv', jamais l'inverse. Intervertir donne l'opposé, donc un sens de variation inversé. 👉 Un moyen mnémotechnique : « le haut dérivé fois le bas, moins le haut fois le bas dérivé » — le numérateur commence par ce qui vient du numérateur.
2. Étape 2 : f(x) = x{x^2+1}. On identifie : u = x u' = 1 v = x^2+1 v' = 2x [formule]

   f'(x) = (x^2+1) - 2x^2{(x^2+1)^2}

3. Étape 3 : On développe et l'on simplifie le numérateur : (x^2+1) - 2x^2 = x^2 + 1 - 2x^2 = 1 - x^2 [formule] 👉 Le dénominateur est un carré, donc toujours positif : le signe de f' est celui du numérateur 1 - x^2 = (1-x)(1+x). Ce trinôme a pour racines -1 et 1, et son coefficient dominant est -1 < 0 : il est positif entre les racines. f décroît sur ]-\,;-1], croît sur [-1\,;1], décroît sur [1\,;+[ — avec un minimum en -1 et un maximum en 1.

   f'(x) = 1-x^2{(x^2+1)^2}

4. Étape 4 : Contrôle par une valeur. En x = 0 : f'(0) = 1-0{(0+1)^2} = 1 Vérifions autrement : près de 0, f(x) = x{x^2+1} x{1} = x, dont la pente est bien 1 ✓ 👉 Tester la dérivée en un point simple est un contrôle rapide et efficace. On choisit x = 0 quand c'est possible, car les calculs y sont immédiats.

   f'(0) = 1 \

5. Étape 5 : L'erreur classique : Inverser l'ordre au numérateur : écrire uv' - u'v. On obtiendrait x^2-1{(x^2+1)^2} — l'opposé, donc des variations inversées : la fonction paraîtrait croître là où elle décroît. 👉 Le contrôle par une valeur le démasque : avec l'ordre inversé, f'(0) vaudrait -1, alors que la courbe monte visiblement au voisinage de 0. À retenir : (u{v})' = u'v - uv'{v^2} — l'ordre compte, à cause du signe moins. 👉 Et le dénominateur v^2 est toujours positif : tout le signe de la dérivée est dans le numérateur.