Dérivée d'un produit

Énoncé

Calculer la dérivée de f(x) = x^2 e^x.

Indice : Utilise la formule du produit : (uv)' = u'v + uv' avec u(x) = x^2 et v(x) = e^x.

Correction

1. Étape 1 : Un produit de deux fonctions, et sa formule a une raison d'être qu'il vaut la peine de comprendre. Dérivée d'un produit : [formule] 👉 Pourquoi deux termes ? Parce qu'un produit varie pour deux raisons : parce que u change, et parce que v change. Chaque terme mesure l'une des deux contributions. ⚠️ Ce n'est PAS u'v'. C'est l'erreur la plus fréquente, et elle vient d'une analogie fausse avec la somme (où (u+v)' = u'+v' est vrai). Contre-épreuve immédiate : (x x)' = (x^2)' = 2x, alors que 1 1 = 1. 👉 Et un réflexe systématique à la fin : factoriser. C'est ce qui rendra le signe lisible.
2. Étape 2 : f(x) = x^2 e^x. On identifie : u = x^2 u' = 2x v = e^x v' = e^x On applique la formule : f'(x) = 2x e^x_{u'v} + x^2 e^x_{uv'}

   f'(x) = 2xe^x + x^2e^x

3. Étape 3 : On factorise par e^x, présent dans les deux termes : f'(x) = e^x(2x + x^2) Puis par x : [formule] 👉 Ce n'est pas de la coquetterie. Sous cette forme, le signe se lit immédiatement : e^x > 0 toujours, donc f' est du signe de x(x+2) — un trinôme de racines 0 et -2, positif à l'extérieur. f croît sur ]-\,;-2], décroît sur [-2\,;0], croît sur [0\,;+[. Sous la forme non factorisée 2xe^x + x^2e^x, rien de tout cela n'était visible.

   f'(x) = x(x+2)e^x

4. Étape 4 : L'erreur classique : Écrire (uv)' = u'v', soit ici 2x e^x. Contre-épreuve en trois secondes : avec u = v = x, on aurait (x^2)' = 1 1 = 1, alors que la vraie dérivée est 2x. La formule est fausse. 👉 Le repère : la dérivée d'un produit a deux termes, celle d'une somme en a deux aussi mais sans croisement. On dérive l'un en gardant l'autre, puis l'inverse. À retenir : (uv)' = u'v + uv' — deux termes, car un produit varie pour deux raisons. 👉 Et factoriser à la fin : c'est ce qui transforme une expression en tableau de variations.