Sens de variation simple

Énoncé

Déterminer le sens de variation de la fonction f(x) = x^2 - 4x + 3 sur R.

Indice : Calcule la dérivée f', puis détermine son signe.

Correction

1. Étape 1 : Le lien entre dérivée et variations est le résultat du chapitre, et il vaut d'être énoncé précisément. Dérivée et variations : f' > 0 sur un intervalle f y est croissante f' < 0 sur un intervalle f y est décroissante f' s'annule en changeant de signe extremum 👉 L'idée : la dérivée est la pente de la tangente. Une pente positive, c'est une courbe qui monte. Étudier des variations : 1. dériver ; 2. résoudre f'(x) = 0 ; 3. étudier le signe de f' ; 4. conclure, en calculant la valeur de l'extremum. ⚠️ L'étape 4 s'oublie : dire « minimum en x = 2 » ne suffit pas, il faut donner f(2).
2. Étape 2 : f(x) = x^2 - 4x + 3, donc f'(x) = 2x - 4 On factorise — ce qui rend le signe immédiat : [formule] f'(x) = 0 x = 2

   f'(x) = 2(x-2)

3. Étape 3 : Le signe. Le facteur 2 est positif, donc f' est du signe de x - 2 : | x | - | | 2 | | + | |:---|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:| | f' | | - | 0 | + | | | f | | | -1 | | | f est décroissante sur ]-\,;2] et croissante sur [2\,;+[. La valeur de l'extremum : f(2) = 4 - 8 + 3 = -1 [formule]

   f = f(2) = -1

4. Étape 4 : 👉 Contrôle indépendant, sans dériver. f est un trinôme du second degré à coefficient dominant a = 1 > 0 : sa courbe est une parabole en forme de vallée, et son sommet a pour abscisse [formule] Les deux méthodes donnent le même résultat — ce qui valide le calcul de dérivée. ℹ️ Sur un trinôme, la formule du sommet est plus rapide que la dérivée. Mais la dérivée, elle, s'applique à n'importe quelle fonction : c'est l'outil général.

   x_{sommet} = -b{2a} = 2 \

5. Étape 5 : L'erreur classique : Confondre le signe de f' et le sens de variation de f'. Ici f'(x) = 2x - 4 est une fonction croissante — mais ce n'est pas la question. Ce qui compte est son signe : négatif avant 2, positif après. C'est lui qui décide des variations de f. 👉 Et second piège : annoncer « minimum en x = 2 » sans calculer f(2). L'abscisse dit *où*, l'ordonnée dit *combien* — les deux sont demandées. À retenir : Le SIGNE de f' donne les variations de f — pas les variations de f'. 👉 Et un extremum a deux coordonnées : toujours calculer sa valeur.