Dérivée avec exponentielle

Énoncé

Calculer la dérivée de f(x) = e^{2x + 1}.

Indice : Utilise la formule [e^{u(x)}]' = u'(x) e^{u(x)} avec u(x) = 2x + 1.

Correction

1. Étape 1 : L'exponentielle composée, et sa particularité : Dériver une exponentielle : [formule] 👉 L'exponentielle ne disparaît jamais : elle est conservée à l'identique, et seul le facteur u' vient devant. C'est la propriété fondamentale de e^x — elle est sa propre dérivée. ⚠️ Et le u' vient devant, contrairement au logarithme où il va au dénominateur (( u)' = u'{u}). Deux formules voisines, deux places différentes.
2. Étape 2 : u(x) = 2x + 1, donc u'(x) = 2 (la dérivée d'une fonction affine est son coefficient directeur). On applique : [formule] 👉 Cas général utile : (e^{ax+b})' = a\,e^{ax+b}. Dériver une exponentielle affine revient à multiplier par le coefficient de x.

   f'(x) = 2e^{2x+1}

3. Étape 3 : Deux contrôles : Le signe. e^{2x+1} > 0 toujours, et 2 > 0, donc f' > 0 : la fonction est strictement croissante sur R. Cohérent — l'exposant 2x+1 croît, et l'exponentielle est croissante. La forme. La dérivée contient bien un facteur e^{2x+1}, avec le même exposant que la fonction de départ. Si l'exposant avait changé, ce serait le signe d'une erreur. ℹ️ Ce contrôle de forme est particulièrement utile : une dérivée d'exponentielle qui ne contient plus la même exponentielle est nécessairement fausse.

   f'(x) > 0 f croissante

4. Étape 4 : L'erreur classique : Écrire f'(x) = e^{2} ou f'(x) = 2e^{2} — en « dérivant l'exposant » à la place de l'exponentielle. L'exposant reste intact ; c'est seulement sa dérivée qui apparaît en facteur. La bonne lecture : « e puissance quelque chose se dérive en (dérivée du quelque chose) fois e puissance le même quelque chose ». 👉 Le contrôle de forme le dit : la dérivée doit contenir e^{2x+1}, pas e^2. À retenir : (e^u)' = u'e^u — exponentielle conservée, u' devant. 👉 Et pour une exponentielle affine, la règle se résume à : multiplier par le coefficient de x.