Dérivée avec racine carrée

Énoncé

Calculer la dérivée de f(x) = x^2 + 1.

Indice : Utilise la formule [u(x)]' = u'(x){2u(x)} avec u(x) = x^2 + 1.

Correction

1. Étape 1 : Même mécanisme que la puissance, avec la racine. Dériver une racine de fonction : [formule] 👉 D'où vient-elle ? De la règle des puissances : u = u^{1/2}, donc (u^{1/2})' = 1{2}u'\,u^{-1/2} = u'{2 u}. Rien de nouveau, seulement un exposant fractionnaire. ⚠️ La formule n'a de sens que là où u > 0 strictement : en u = 0, la racine existe mais sa dérivée non (le dénominateur s'annule). Ici x^2 + 1 1, donc aucun problème.
2. Étape 2 : u(x) = x^2 + 1, donc u'(x) = 2x. On applique : f'(x) = 2x{2x^2+1} On simplifie par 2 : [formule] 👉 La simplification est systématique : le 2 du numérateur (venant de u') et celui du dénominateur (venant de la formule) s'annulent souvent.

   f'(x) = x{x^2+1}

3. Étape 3 : Deux contrôles de cohérence : Le signe. x^2+1 > 0 toujours, donc f' est du signe de x — négative avant 0, positive après. La fonction x^2+1 décroît puis croît, avec un minimum en x = 0 valant 1 = 1. C'est cohérent : x^2+1 est minimale en 0, et la racine préserve le sens de variation. Le domaine. x^2 + 1 1 > 0 pour tout réel : la fonction et sa dérivée sont définies sur R entier. Aucune restriction à mentionner.

   f'(x) du signe de x

4. Étape 4 : L'erreur classique : Écrire f'(x) = 1{2x^2+1} — le u' oublié, encore. C'est le même défaut qu'à l'exercice précédent, et il produit ici une dérivée toujours positive : on conclurait que x^2+1 est croissante sur R, alors qu'elle décroît sur ]-\,;0]. 👉 Le contrôle de signe attrape ce défaut : la fonction a visiblement un minimum en 0 (puisque x^2 y est minimal), donc sa dérivée doit y changer de signe. À retenir : ( u)' = u'{2 u} — la même règle des puissances, avec n = 1{2}. 👉 Et la racine préserve le sens de variation : elle est croissante, donc u varie comme u.