Dérivée d'une fonction composée simple

Énoncé

Calculer la dérivée de f(x) = (x^2 + 3)^5.

Indice : C'est une fonction composée. Utilise la formule [u(x)^n]' = n u'(x) u(x)^{n-1} avec u(x) = x^2 + 3 et n = 5.

Correction

  1. Étape 1 : Une fonction composée : une puissance appliquée à une expression, pas à x tout seul. Dériver une puissance de fonction : [formule] 👉 Trois choses changent par rapport à x^n : la puissance descend en facteur (comme d'habitude), elle diminue de 1 (comme d'habitude), et l'on multiplie par u' — c'est le seul terme nouveau. ⚠️ C'est ce u' qu'on oublie, et l'oubli ne se voit pas : le résultat garde la bonne forme. D'où la méthode en trois lignes séparées. Trois lignes, toujours : 1. poser u ; 2. calculer u' ; 3. appliquer la formule.
  2. Étape 2 : Ligne 1 — on pose u(x) = x^2 + 3, et n = 5. Ligne 2 — on calcule u' à part : u'(x) = 2x Ligne 3 — on applique (u^5)' = 5\,u'\,u^4 : f'(x) = 5 2x (x^2+3)^4 [formule]

    f'(x) = 10x(x^2+3)^4

  3. Étape 3 : Le contrôle, sur un cas où l'on sait vérifier. Prenons n = 1 : f(x) = (x^2+3)^1 = x^2 + 3, dont la dérivée est évidemment 2x. La formule donne 1 2x (x^2+3)^0 = 2x 1 = 2x ✓ 👉 Tester une formule sur un cas simple est un réflexe qui coûte quelques secondes et confirme qu'on ne l'a pas mal mémorisée. ℹ️ Et sans le facteur u' = 2x, on aurait obtenu 5(x^2+3)^4 — une expression toujours positive, qui décrirait une fonction toujours croissante. Or f décroît pour x < 0 : l'erreur aurait changé le sens de variation.

    n = 1 : \ 1 2x (x^2+3)^0 = 2x \

  4. Étape 4 : L'erreur classique : Écrire f'(x) = 5(x^2+3)^4 — la formule de x^n appliquée telle quelle. Le facteur u' manque. Et comme le résultat reste une expression plausible, rien ne le signale — sauf le contrôle de signe, ou le test sur n = 1. 👉 Ne jamais dériver « de tête » une composée : les trois lignes séparées sont ce qui rend l'oubli impossible. À retenir : (u^n)' = n\,u'\,u^{n-1} — le u' est le terme qu'on oublie. 👉 Et le développement n'est pas demandé : 10x(x^2+3)^4 est la réponse. La développer donnerait un polynôme de degré 9, moins lisible et plus long.