Calculer des dérivées simples

Énoncé

Calculer les dérivées des fonctions suivantes : a) f(x) = 3x^2 - 5x + 2 b) g(x) = x^3 + 2x - 1 c) h(x) = 1{x}

Indice : Utilise les formules de dérivation : (x^n)' = nx^{n-1} et (1{x})' = -1{x^2}.

Correction

1. Étape 1 : Trois dérivées, et la clé est de reconnaître la forme avant de calculer. Les dérivées à connaître : [formule] 👉 La dérivation est linéaire : on dérive terme par terme, et les coefficients restent devant. Dériver 3x^2 - 5x + 2 revient donc à traiter trois morceaux indépendants. ⚠️ Deux points où l'on se trompe : la constante disparaît (sa dérivée est 0, pas elle-même), et la dérivée de 1{x} porte un signe moins.
2. Étape 2 : a) f(x) = 3x^2 - 5x + 2. Terme par terme : 3x^2 3 2x = 6x (la puissance descend en facteur, et diminue de 1) -5x -5 (car x^1 1 x^0 = 1) 2 0 (une constante ne varie pas) [formule] 👉 Contrôle de degré : la dérivée d'un polynôme de degré 2 est de degré 1. Si l'on obtenait encore un x^2, c'est qu'on aurait oublié de faire descendre la puissance.

   f'(x) = 6x - 5

3. Étape 3 : b) g(x) = x^3 + 2x - 1 : x^3 3x^2 · 2x 2 · -1 0 [formule] ℹ️ Remarquer que g'(x) = 3x^2 + 2 > 0 pour tout x : la fonction g est donc strictement croissante sur R. Une dérivée qui ne s'annule jamais se lit d'un coup d'œil, et donne le sens de variation sans aucun tableau.

   g'(x) = 3x^2 + 2

4. Étape 4 : c) h(x) = 1{x} : c'est une formule à connaître. [formule] 👉 D'où vient le signe moins ? On peut l'écrire h(x) = x^{-1} et appliquer la règle des puissances : h'(x) = -1 x^{-2} = -1{x^2} La puissance -1 descend en facteur — d'où le signe — et diminue de 1, passant à -2. ℹ️ Et le résultat est toujours négatif (x^2 > 0), ce qui confirme que 1{x} est décroissante sur chacun de ses deux intervalles.

   h'(x) = -1{x^2}

5. Étape 5 : L'erreur classique : Garder la constante : écrire f'(x) = 6x - 5 + 2. Une constante ne varie pas, donc sa dérivée est nulle. C'est d'ailleurs pourquoi deux fonctions différant d'une constante ont la même dérivée — leurs courbes sont translatées verticalement, et ont partout la même pente. 👉 Second piège : oublier le signe moins de 1{x}. Le contrôle de bon sens : 1{x} décroît quand x grandit, donc sa dérivée doit être négative. À retenir : On dérive terme par terme ; la puissance descend en facteur et diminue de 1. 👉 Et deux contrôles gratuits : le degré baisse d'une unité, et le signe de la dérivée doit correspondre au sens de variation qu'on attend.