Limite avec exponentielle

Énoncé

Calculer les limites suivantes : a) _{x +} e^x{x} b) _{x -} xe^x

Indice : Pour la question a), utilise le fait que l'exponentielle croît plus vite que toute puissance de x. Pour la question b), pose t = -x et utilise la limite de référence.

Correction

1. Étape 1 : **a)** C'est une forme indéterminée {}. On sait que l'exponentielle croît plus vite que toute puissance de x.
2. Étape 2 : On peut utiliser la règle de l'Hôpital (si connue) ou comparer avec x^2 :

   e^x{x} > x^2{x} = x pour x > 0 grand

3. Étape 3 : Comme _{x +} x = +, on a _{x +} e^x{x} = +.
4. Étape 4 : **b)** On pose t = -x, donc x = -t et quand x -, on a t +.

   xe^x = -te^{-t} = -t{e^t}

5. Étape 5 : D'après la question a), on sait que _{t +} t{e^t} = 0 (car e^t croît plus vite que t).

   _{x -} xe^x = -_{t +} t{e^t} = 0