Limite avec exponentielle

Énoncé

Calculer les limites suivantes : a) _{x +} e^x{x} b) _{x -} xe^x

Indice : Pour la question a), utilise le fait que l'exponentielle croît plus vite que toute puissance de x. Pour la question b), pose t = -x et utilise la limite de référence.

Correction

1. Étape 1 : Deux limites qui relèvent du même théorème, à condition de savoir s'y ramener. Croissance comparée : [formule] 👉 En une phrase : l'exponentielle l'emporte sur toute puissance de x, aux deux bouts. ⚠️ C'est ce théorème qu'il faut NOMMER, et lui seul. Dire « l'exponentielle croît plus vite » sans le citer, c'est répéter le résultat au lieu de le justifier — et invoquer un outil du supérieur (comme la règle de l'Hôpital) n'apporte rien de plus, puisqu'il n'est pas au programme.
2. Étape 2 : a) e^x{x} : e^x + et x +. [formule] C'est exactement la forme du théorème, avec n = 1 : [formule] ℹ️ En chiffres : e^{10}{10} 2\,200 et e^{20}{20} 2{,}4 10^7. Le quotient ne se contente pas de croître — il explose.

   _{x +} e^x{x} = +

3. Étape 3 : b) xe^x en - : x - et e^x 0. [formule] Deux façons de conclure, toutes deux correctes : Directement : c'est la seconde forme du théorème, avec n = 1 : [formule] Par substitution, si l'on préfère se ramener à la première forme : on pose t = -x, donc x = -t et t + : x e^x = -t\,e^{-t} = -t{e^t} Or t{e^t} 0 (c'est l'inverse de a)), donc la limite vaut -0 = 0 ✓

   _{x -} x e^x = 0

4. Étape 4 : 👉 Ce que le second résultat signifie, et il est moins intuitif que le premier : | x | -1 | -5 | -10 | -20 | |:---|---:|---:|---:|---:| | xe^x | -0{,}368 | -0{,}034 | -0{,}00045 | -4 10^{-8} | Le facteur x devient énorme en valeur absolue, et pourtant le produit s'écrase vers 0 : l'exponentielle décroît si vite qu'elle écrase tout. ℹ️ C'est la même propriété que a), vue de l'autre côté : xe^x = x{e^{-x}}, et le dénominateur explose bien plus vite que le numérateur.

   x e^x = x{e^{-x}} 0

5. Étape 5 : L'erreur classique : Invoquer la « règle de l'Hôpital ». Elle n'est pas au programme de Terminale : en devoir, elle ne vaut aucun point, et l'employer laisse penser qu'on ne connaît pas le théorème qui, lui, est exigible. 👉 Second piège : justifier a) en écrivant « e^x > x^2 pour x grand, donc e^x{x} > x ». L'inégalité e^x > x^2 est vraie, mais elle n'est pas plus évidente que le résultat cherché — l'invoquer, c'est déplacer la difficulté sans la résoudre. La bonne rédaction tient en deux lignes : nommer la forme indéterminée, puis citer la croissance comparée avec la valeur de n. À retenir : Un seul théorème, deux formes : e^x{x^n} + en +, x^ne^x 0 en -. 👉 Et le nommer : « ça croît plus vite » est le résultat, pas sa justification.