Théorème des valeurs intermédiaires et localisation
Énoncé
On considère l'équation e^x = x + 2.
1. Montrer que cette équation admet exactement deux solutions dans R.
2. Montrer que la solution négative vérifie ]-2, -1[.
Indice : Pour la question 1, étudie les variations de f(x) = e^x - x - 2 et son minimum. Pour la question 2, calcule f(-2) et f(-1).
Correction
- Étape 1 : Un exercice en deux temps : d'abord compter les solutions, ensuite en localiser une.
Compter les solutions de f(x) = 0 :
1. ramener à une seule fonction : e^x = x+2 e^x - x - 2 = 0 ;
2. tableau de variations complet, limites comprises ;
3. sur chaque branche monotone, le corollaire du TVI donne au plus une solution.
👉 Le point décisif : découper aux extremums. Sur un intervalle où f n'est pas monotone, le théorème ne donne pas l'unicité, et l'on risque de manquer une solution.
- Étape 2 : 1) On pose f(x) = e^x - x - 2, continue et dérivable sur R.
f'(x) = e^x - 1
f'(x) = 0 e^x = 1 x = 0
Comme est croissante : e^x < 1 pour x < 0 et e^x > 1 pour x > 0. Donc
f' < 0 sur ]-\,;0[ et f' > 0 sur ]0\,;+[
Le minimum : f(0) = e^0 - 0 - 2 = 1 - 2 = -1 < 0
f'(x) = e^x - 1 \ ; f(0) = -1 < 0
- Étape 3 : Les limites.
En + : forme - , on factorise par e^x :
f(x) = e^x(1 - x{e^x} - 2{e^x}) + 1 = +
En - : e^x 0 et -x +, aucune indétermination :
f(x) 0 + - 2 = +
| x | - | | 0 | | + |
|:---|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|
| f' | | - | 0 | + | |
| f | + | | -1 | | + |
Sur chaque branche, f est continue et strictement monotone, et elle passe de + à -1 (puis de -1 à +). Comme 0 est entre -1 et +, le corollaire du TVI donne une unique solution par branche :
[formule]
deux solutions, une par branche
- Étape 4 : 2) La localisation de la solution négative. On calcule f aux bornes proposées :
f(-2) = e^{-2} - (-2) - 2 = e^{-2} + 2 - 2 = e^{-2} 0{,}135 > 0
f(-1) = e^{-1} - (-1) - 2 = e^{-1} + 1 - 2 = 1{e} - 1 -0{,}632 < 0
Les signes sont contraires, et f est continue et strictement décroissante sur [-2\,;-1] (qui est inclus dans ]-\,;0]).
Par le corollaire du TVI :
[formule]
ℹ️ Numériquement, -1{,}841.
\,]-2\,;-1[
- Étape 5 : L'erreur classique :
Appliquer le TVI sur R tout entier et conclure « une solution ».
Sur R, f n'est pas monotone : elle descend puis remonte. La forme du théorème qui donne l'unicité ne s'y applique pas, et l'on manquerait une solution sur deux.
👉 Découper aux extremums est obligatoire, et le nombre de branches donne le nombre maximal de solutions.
À retenir :
Le nombre de solutions se lit sur le tableau : une par branche traversant la hauteur visée.
👉 Et la comparaison décisive est 0 contre l'extremum : ici -1 < 0, donc deux solutions ; si le minimum avait été positif, il n'y en aurait eu aucune.