Théorème des valeurs intermédiaires et localisation

Énoncé

On considère l'équation e^x = x + 2. 1. Montrer que cette équation admet exactement deux solutions dans R. 2. Montrer que la solution négative vérifie ]-2, -1[.

Indice : Pour la question 1, étudie les variations de f(x) = e^x - x - 2 et son minimum. Pour la question 2, calcule f(-2) et f(-1).

Correction

1. Étape 1 : **1)** On pose f(x) = e^x - x - 2. Cette fonction est continue et dérivable sur R.
2. Étape 2 : On calcule la dérivée : f'(x) = e^x - 1.
3. Étape 3 : f'(x) = 0 e^x = 1 x = 0.
4. Étape 4 : Pour x < 0, on a f'(x) < 0 (fonction décroissante). Pour x > 0, on a f'(x) > 0 (fonction croissante).
5. Étape 5 : Le minimum est atteint en x = 0 : f(0) = 1 - 0 - 2 = -1 < 0.
6. Étape 6 : De plus, _{x -} f(x) = + et _{x +} f(x) = +.
7. Étape 7 : Comme f est strictement décroissante sur ]-, 0] et strictement croissante sur [0, +[, et que f(0) < 0, il existe exactement deux solutions : une dans ]-, 0[ et une dans ]0, +[.
8. Étape 8 : **2)** On calcule f(-2) = e^{-2} - (-2) - 2 = e^{-2} 0{,}14 > 0 et f(-1) = e^{-1} + 1 - 2 = 1{e} - 1 -0{,}63 < 0.
9. Étape 9 : On a f(-2) > 0 et f(-1) < 0. Par le théorème des valeurs intermédiaires, comme f est continue et strictement décroissante sur ]-, 0], il existe une unique solution ]-2, -1[.