Asymptotes multiples

Énoncé

Soit f(x) = x^2 - 4{x^2 - 1}. 1. Déterminer toutes les asymptotes de la courbe représentative de f. 2. Déterminer la position de la courbe par rapport à l'asymptote horizontale.

Indice : Factorise le dénominateur pour trouver les asymptotes verticales. Pour l'asymptote horizontale, calcule la limite en .

Correction

1. Étape 1 : Une fonction à deux asymptotes verticales et une horizontale — le cas le plus complet du chapitre. Chercher toutes les asymptotes : verticales : là où le dénominateur s'annule sans que le numérateur s'annule ; horizontale : par la limite en ; position : par le signe de f(x) - . ⚠️ La condition « sans que le numérateur s'annule » est essentielle : si les deux s'annulaient, on aurait une forme 0{0}, donc peut-être un simple trou — comme en 29003, où il n'y avait aucune asymptote. 👉 Et pour chaque asymptote verticale, il faudra les deux limites unilatérales : elles seront opposées.
2. Étape 2 : Les asymptotes verticales. Le dénominateur s'annule pour x^2-1 = 0, soit x = 1 ou x = -1. En x = 1 : le numérateur vaut 1 - 4 = -3 0. La fraction a donc un numérateur non nul sur un dénominateur qui tend vers 0 : elle explose. [formule] En x = -1 : le numérateur vaut 1-4 = -3 0 également. [formule] ⚠️ On n'écrit PAS « la limite vaut -3{0} » : une division par zéro n'a pas de sens. Ce qu'on dit, c'est que le numérateur tend vers -3 et le dénominateur vers 0 — et il faut alors regarder le signe du dénominateur pour conclure.

   x = 1 et x = -1 asymptotes verticales

3. Étape 3 : Les limites unilatérales en 1, en regardant le signe de x^2-1 = (x-1)(x+1) : à gauche (x 1^-, par exemple x = 0{,}99) : x^2 - 1 < 0, et le numérateur vaut -3 < 0. Le quotient de deux négatifs est positif : [formule] à droite (x 1^+, par exemple x = 1{,}01) : x^2-1 > 0 et le numérateur reste négatif : [formule] Contrôle chiffré : f(0{,}99) +152 et f(1{,}01) -148 ✓ — deux comportements opposés, et c'est ce que l'écriture « -3{0} » masquait entièrement.

   _{1^-} f = + \ ; _{1^+} f = -

4. Étape 4 : L'asymptote horizontale. On factorise par x^2, la plus haute puissance : [formule] [formule] 👉 Contrôle par les degrés : numérateur et dénominateur sont tous deux de degré 2, donc la limite est le rapport des coefficients dominants, soit 1{1} = 1 ✓

   y = 1 asymptote horizontale

5. Étape 5 : 2) La position. On calcule la différence : f(x) - 1 = x^2-4{x^2-1} - 1 = x^2-4-(x^2-1){x^2-1} = -3{x^2-1} ⚠️ Attention à distribuer le signe moins : -(x^2-1) = -x^2+1. Le signe, pour |x| > 1 (c'est-à-dire loin de l'origine, là où l'asymptote a un sens) : x^2 - 1 > 0, donc f(x) - 1 < 0 [formule] ℹ️ Et pour |x| < 1 : x^2 - 1 < 0, donc f(x) - 1 > 0 — la courbe y est au-dessus. Mais cette zone est loin de l'infini, donc sans rapport avec l'asymptote.

   f(x) - 1 = -3{x^2-1} < 0 pour |x| > 1

6. Étape 6 : L'erreur classique : Écrire « = -3{0} » et s'arrêter là. Une division par zéro n'a pas de sens : ce n'est ni un nombre, ni +, ni -. Et cette écriture masque le fait le plus important : les deux côtés donnent des résultats OPPOSÉS (+ et -). 👉 La rédaction correcte : « le numérateur tend vers -3 et le dénominateur vers 0 en restant négatif (resp. positif), donc le quotient tend vers + (resp. -) ». À retenir : Asymptote verticale deux limites unilatérales, en regardant le signe du dénominateur. 👉 Et ne jamais écrire un quotient par zéro : dire quel facteur tend vers quoi, avec son signe.