Asymptotes multiples

Énoncé

Soit f(x) = x^2 - 4{x^2 - 1}. 1. Déterminer toutes les asymptotes de la courbe représentative de f. 2. Déterminer la position de la courbe par rapport à l'asymptote horizontale.

Indice : Factorise le dénominateur pour trouver les asymptotes verticales. Pour l'asymptote horizontale, calcule la limite en .

Correction

1. Étape 1 : **1)** Le dénominateur s'annule pour x^2 - 1 = 0, soit x = 1 ou x = -1.
2. Étape 2 : Vérifions les limites en ces points. Pour x = 1 :

   _{x 1} x^2 - 4{x^2 - 1} = _{x 1} 1 - 4{1 - 1} = -3{0}

3. Étape 3 : Le numérateur ne s'annule pas en 1, donc x = 1 est une asymptote verticale. De même pour x = -1.
4. Étape 4 : Pour l'asymptote horizontale, on calcule la limite en en factorisant par x^2 :

   _{x } x^2 - 4{x^2 - 1} = _{x } x^2(1 - {4{x^2})}{x^2(1 - 1{x^2})} = 1{1} = 1

5. Étape 5 : La droite y = 1 est une asymptote horizontale.
6. Étape 6 : **2)** On calcule f(x) - 1 :

   f(x) - 1 = x^2 - 4{x^2 - 1} - 1 = x^2 - 4 - (x^2 - 1){x^2 - 1} = -3{x^2 - 1}

7. Étape 7 : Pour |x| > 1, on a x^2 - 1 > 0, donc f(x) - 1 < 0. La courbe est **en-dessous** de l'asymptote horizontale.