Continuité et prolongement par continuité

Énoncé

Soit f la fonction définie sur R \{1\} par : [formule] 1. Simplifier l'expression de f(x). 2. Peut-on prolonger f par continuité en x = 1 ? Si oui, donner la valeur à attribuer à f(1).

Indice : Factorise x^3 - 1 en utilisant l'identité a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2) avec a = x et b = 1.

Correction

1. Étape 1 : **1)** On factorise x^3 - 1 en utilisant l'identité remarquable : a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2).

   x^3 - 1 = x^3 - 1^3 = (x - 1)(x^2 + x + 1)

2. Étape 2 : Donc pour x 1 :

   f(x) = (x-1)(x^2 + x + 1){x - 1} = x^2 + x + 1

3. Étape 3 : **2)** On calcule la limite en 1 :

   _{x 1} f(x) = _{x 1} (x^2 + x + 1) = 1^2 + 1 + 1 = 3

4. Étape 4 : La limite existe et est finie. On peut prolonger f par continuité en posant f(1) = 3.