Continuité et prolongement par continuité

Énoncé

Soit f la fonction définie sur R \{1\} par : [formule] 1. Simplifier l'expression de f(x). 2. Peut-on prolonger f par continuité en x = 1 ? Si oui, donner la valeur à attribuer à f(1).

Indice : Factorise x^3 - 1 en utilisant l'identité a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2) avec a = x et b = 1.

Correction

1. Étape 1 : Un prolongement par continuité : la fonction a un trou en 1, et l'on se demande si on peut le boucher. Prolonger par continuité : 1. simplifier l'expression pour lever la forme 0{0} ; 2. calculer la limite ; 3. si elle existe et est finie, on prolonge en posant f(a) = cette limite. 👉 Ce n'est pas toujours possible : si la limite est infinie (comme en 29005) ou n'existe pas (comme en 29009), il n'y a rien à prolonger. C'est ce que la question demande de vérifier. ⚠️ Ici il faudra factoriser un cube moins un cube — une identité un peu moins connue que a^2-b^2.
2. Étape 2 : 1) La simplification. On emploie l'identité : [formule] Avec a = x et b = 1 : x^3 - 1 = (x-1)(x^2+x+1) Vérification par développement : x^3+x^2+x-x^2-x-1 = x^3-1 ✓ D'où, pour x 1 : [formule]

   f(x) = x^2+x+1 (x 1)

3. Étape 3 : 2) La limite. x^2+x+1 est un polynôme, donc continu : [formule] La limite existe et est finie, donc le prolongement est possible : [formule] 👉 La fonction prolongée est alors exactement x^2+x+1 sur R tout entier — un polynôme parfaitement ordinaire. Le trou de départ n'était qu'un artefact de l'écriture x^3-1{x-1}. ℹ️ C'est le même phénomène qu'en 29003 et 29007 : une fraction dont numérateur et dénominateur partagent un facteur cache une fonction bien plus simple.

   f(1) = 3

4. Étape 4 : L'erreur classique : Écrire x^3 - 1 = (x-1)^3, ou (x-1)(x^2-x+1). Ni l'une ni l'autre. (x-1)^3 = x^3-3x^2+3x-1, et l'identité correcte porte des signes plus dans le second facteur : x^2+ax+a^2 pour x^3-a^3. 👉 Le contrôle en dix secondes : développer. (x-1)(x^2+x+1) = x^3-1 ✓, tandis que (x-1)(x^2-x+1) = x^3-2x^2+2x-1 ✗ À retenir : a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2) — que des signes plus dans le second facteur. 👉 Et un prolongement n'est possible que si la limite existe et est finie : c'est la question à vérifier, pas à supposer.