Limite avec racine et forme indéterminée

Énoncé

Calculer la limite suivante : [formule]

Indice : Multiplie et divise par l'expression conjuguée, puis factorise x au dénominateur.

Correction

1. Étape 1 : Même forme qu'en 29006, avec un terme différent sous la racine — et le résultat n'est pas le même. 👉 C'est tout l'intérêt du rapprochement : x^2+1-x 0 mais x^2+x-x 1{2}. Une intuition du type « la racine ressemble à x » donnerait 0 dans les deux cas, et se tromperait ici. Quantité conjuguée, puis factorisation : Le geste conjugué lève l'indétermination ; il reste ensuite une forme {} ordinaire.
2. Étape 2 : On multiplie et divise par la conjuguée : x^2+x-x = (x^2+x) - x^2{x^2+x+x} = x{x^2+x+x} ⚠️ Le numérateur vaut x, et non 1 — c'est là que cet exercice diffère de 29006, où le terme sous la racine était une constante. 👉 Et c'est ce qui change tout : un numérateur qui grandit au lieu de rester constant.

   x^2+x-x = x{x^2+x+x}

3. Étape 3 : Il reste une forme {}, qu'on traite par factorisation. Au dénominateur, on sort x de la racine. ⚠️ Licite car x > 0 : x^2 = x et non -x. x^2+x = x^2(1+{1{x})} = x1+{1{x}} [formule] Quand x + : 1{x} 0, donc 1+{1{x}} 1 : [formule]

   = 1{2}

4. Étape 4 : 👉 Le contraste avec 29006, en chiffres : | x | x^2+1-x | x^2+x-x | |:---|---:|---:| | 10 | 0{,}0499 | 0{,}4881 | | 100 | 0{,}0050 | 0{,}4988 | | 1000 | 0{,}0005 | 0{,}4999 | La première colonne s'écrase vers 0, la seconde se stabilise à 1{2}. ℹ️ L'explication : x^2+x vaut à peu près x + 1{2}, car (x+1{2})^2 = x^2+x+1{4} — à un quart près. Tandis que x^2+1 vaut à peu près x tout court, le +1 devenant négligeable devant x^2. C'est la comparaison du terme ajouté avec x^2 qui décide : x compte encore, 1 ne compte plus.

   x^2+x x + 1{2}

5. Étape 5 : L'erreur classique : Croire que le résultat est toujours 0 pour ce type de limite. Les deux exercices le réfutent : même forme, même méthode, résultats différents. Ce qui décide est ce qui reste au numérateur après la conjugaison — une constante donne 0, un terme en x donne une limite finie non nulle. 👉 Et si le terme sous la racine était x^2 + x^2, on obtiendrait encore autre chose. Faire le calcul, jamais l'analogie. À retenir : Quantité conjuguée, puis factorisation par x — deux gestes enchaînés. 👉 Et x^2=|x|, qui vaut x seulement pour x > 0. La précision est nécessaire quand on étudie une limite en -.