Limite avec racine et forme indéterminée

Énoncé

Calculer la limite suivante : [formule]

Indice : Multiplie et divise par l'expression conjuguée, puis factorise x au dénominateur.

Correction

1. Étape 1 : On multiplie et divise par l'expression conjuguée.

   x^2 + x - x = ({x^2 + x - x)(x^2 + x + x)}{x^2 + x + x}

2. Étape 2 : Le numérateur devient : (x^2 + x)^2 - x^2 = x^2 + x - x^2 = x.

   x^2 + x - x = x{x^2 + x + x}

3. Étape 3 : On factorise x au dénominateur : x^2 + x + x = x(1 + {1{x}} + 1).

   x{x^2 + x + x} = x{x(1 + {1{x}} + 1)} = 1{1 + {1{x}} + 1}

4. Étape 4 : Quand x +, on a 1{x} 0, donc 1 + {1{x}} 1.

   _{x +} 1{1 + {1{x}} + 1} = 1{1 + 1} = 1{2}