Application du théorème des valeurs intermédiaires

Énoncé

Montrer que l'équation x^3 - 3x + 1 = 0 admet au moins une solution dans l'intervalle [0, 1].

Indice : Applique le théorème de Bolzano. Vérifie que la fonction est continue et que f(0) et f(1) sont de signes opposés.

Correction

1. Étape 1 : Le théorème des valeurs intermédiaires garantit l'existence d'une solution, sans la calculer. Théorème des valeurs intermédiaires : Si f est continue sur [a\,;b] et si f(a) et f(b) sont de signes contraires, alors il existe au moins un c \,]a\,;b[ tel que f(c) = 0. 👉 L'idée : une courbe continue qui part d'en dessous de l'axe et arrive au-dessus doit bien le traverser quelque part. On ne peut pas passer de l'autre côté sans croiser la ligne. ⚠️ La continuité est indispensable. Sans elle, une fonction peut « sauter » par-dessus zéro — comme la fonction signe de l'exercice 29009, qui passe de -1 à +1 sans jamais valoir 0. Les trois choses à écrire : 1. la continuité de f, avec sa raison ; 2. les valeurs aux bornes, avec leurs signes ; 3. la conclusion, en nommant le théorème.
2. Étape 2 : 1) La continuité. On pose f(x) = x^3 - 3x + 1. C'est un polynôme, donc f est continue sur R, et en particulier sur [0\,;1]. 👉 Cette justification en une ligne suffit — mais elle ne se saute pas, car c'est elle qui autorise le théorème.

   f polynôme continue

3. Étape 3 : 2) Les valeurs aux bornes : f(0) = 0 - 0 + 1 = 1 > 0 f(1) = 1 - 3 + 1 = -1 < 0 Les signes sont contraires ✓

   f(0) = 1 > 0 \ ; f(1) = -1 < 0

4. Étape 4 : 3) La conclusion. f est continue sur [0\,;1] et change de signe entre les bornes. D'après le théorème des valeurs intermédiaires : [formule] L'équation x^3 - 3x + 1 = 0 admet donc au moins une solution dans [0\,;1]. ⚠️ « Au moins une », et pas « exactement une » : le théorème sous cette forme ne dit rien de l'unicité. Pour l'obtenir, il faudrait ajouter que f est strictement monotone sur l'intervalle — ce qui est vrai ici (f'(x) = 3x^2-3 < 0 sur ]0\,;1[), mais l'énoncé ne le demandait pas. ℹ️ Numériquement, cette solution vaut environ 0{,}347.

   \, c \,]0;1[ : f(c) = 0

5. Étape 5 : L'erreur classique : Oublier de justifier la continuité, ou conclure à l'unicité. Sans continuité, le théorème ne s'applique pas — et il ne s'agit pas d'une formalité : c'est exactement l'hypothèse qui interdit à la courbe de sauter par-dessus zéro. 👉 Et « au moins une » n'est pas « exactement une ». Pour l'unicité, il faut la stricte monotonie en plus, ce qui est une hypothèse supplémentaire à démontrer. À retenir : Continuité + changement de signe au moins une racine. 👉 Pour l'unicité, ajouter la stricte monotonie. Les deux énoncés sont distincts et ne se remplacent pas.