Application du théorème des valeurs intermédiaires

Énoncé

Montrer que l'équation x^3 - 3x + 1 = 0 admet au moins une solution dans l'intervalle [0, 1].

Indice : Applique le théorème de Bolzano. Vérifie que la fonction est continue et que f(0) et f(1) sont de signes opposés.

Correction

1. Étape 1 : On pose f(x) = x^3 - 3x + 1. Cette fonction est continue sur R (polynôme).
2. Étape 2 : On calcule f(0) et f(1).

   f(0) = 0^3 - 3 0 + 1 = 1 > 0

3. Étape 3 :

   f(1) = 1^3 - 3 1 + 1 = 1 - 3 + 1 = -1 < 0

4. Étape 4 : On a f(0) > 0 et f(1) < 0. Comme f est continue sur [0, 1], d'après le théorème de Bolzano, il existe au moins un réel c dans ]0, 1[ tel que f(c) = 0.