Limites à gauche et à droite

Énoncé

Soit f(x) = |x|{x}. 1. Calculer _{x 0^-} f(x) et _{x 0^+} f(x). 2. La fonction f admet-elle une limite en 0 ?

Indice : Rappelle-toi que |x| = -x si x < 0 et |x| = x si x > 0.

Correction

1. Étape 1 : **1)** Pour x < 0, on a |x| = -x, donc f(x) = -x{x} = -1.

   _{x 0^-} f(x) = _{x 0^-} (-1) = -1

2. Étape 2 : Pour x > 0, on a |x| = x, donc f(x) = x{x} = 1.

   _{x 0^+} f(x) = _{x 0^+} 1 = 1

3. Étape 3 : **2)** Les limites à gauche et à droite sont différentes (-1 1), donc f n'admet **pas** de limite en 0.