Limites à gauche et à droite

Énoncé

Soit f(x) = |x|{x}. 1. Calculer _{x 0^-} f(x) et _{x 0^+} f(x). 2. La fonction f admet-elle une limite en 0 ?

Indice : Rappelle-toi que |x| = -x si x < 0 et |x| = x si x > 0.

Correction

1. Étape 1 : Une fonction dont le comportement change de part et d'autre de 0 — c'est la valeur absolue qui l'impose. Valeur absolue : [formule] 👉 La méthode obligatoire : on ne peut rien faire de |x|{x} tel quel. Il faut séparer les deux cas, et traiter chacun sans valeur absolue. ⚠️ Et la fonction n'est pas définie en 0 (division par zéro) : on ne peut étudier que les limites à gauche et à droite.
2. Étape 2 : À gauche (x < 0) : |x| = -x, donc f(x) = -x{x} = -1 La fonction est constante égale à -1 sur tout ]-\,;0[ : [formule] À droite (x > 0) : |x| = x, donc f(x) = x{x} = 1 [formule]

   _{0^-} f = -1 \ ; _{0^+} f = 1

3. Étape 3 : 2) Les deux limites unilatérales existent, mais elles sont différentes : [formule] [formule] 👉 Le théorème employé : une fonction admet une limite en a si et seulement si ses limites à gauche et à droite existent et coïncident. Ici elles existent toutes deux, mais elles diffèrent — la seconde condition n'est pas remplie. ℹ️ La courbe de cette fonction est faite de deux demi-droites horizontales : y = -1 à gauche de 0, y = 1 à droite, avec un saut de 2 unités en 0. Le crayon doit se lever pour la tracer. Cette fonction porte un nom : c'est la fonction signe, qui vaut -1 pour les négatifs et +1 pour les positifs.

   -1 1 pas de limite en 0

4. Étape 4 : L'erreur classique : Simplifier |x|{x} en 1, en « effaçant » la valeur absolue. |x| x pour x < 0 — c'est toute la définition de la valeur absolue. Simplifier sans distinguer les cas revient à ignorer la moitié du domaine. 👉 Le réflexe : devant une valeur absolue, séparer les cas avant toute manipulation. À retenir : Limite en a les deux limites unilatérales existent ET coïncident. 👉 Et devant |x|, toujours séparer x < 0 et x > 0 — jamais de simplification directe.