Asymptote oblique

Énoncé

Soit f(x) = x^2 + 3x - 1{x - 1}. 1. Déterminer l'asymptote oblique de la courbe représentative de f. 2. Vérifier que c'est bien une asymptote.

Indice : Effectue la division euclidienne de x^2 + 3x - 1 par x - 1 pour obtenir la forme ax + b + R(x){x-1}.

Correction

1. Étape 1 : Une asymptote oblique apparaît quand le degré du numérateur dépasse celui du dénominateur d'exactement 1. Trouver une asymptote oblique : 1. effectuer la division euclidienne du numérateur par le dénominateur ; 2. on obtient f(x) = ax+b_{asymptote} + {r{dénominateur}}_{ \ 0} ; 3. vérifier que le reste tend bien vers 0. 👉 Le repère de degré : ici x^2+3x-1 est de degré 2 et x-1 de degré 1. La différence vaut 1, donc l'asymptote est une droite — et le quotient de la division est son équation.
2. Étape 2 : La division euclidienne de x^2+3x-1 par x-1. On cherche combien de fois x « tient » dans x^2 : c'est x. On multiplie et l'on soustrait, puis on recommence. Le résultat : [formule] Vérification par développement : (x-1)(x+4) = x^2+4x-x-4 = x^2+3x-4, plus 3 donne x^2+3x-1 ✓ En divisant par x-1 : [formule]

   f(x) = x+4+3{x-1}

3. Étape 3 : La vérification. Par définition, y = x+4 est asymptote si l'écart tend vers 0 : [formule] [formule] 👉 La position se lit sur le signe de l'écart : pour x > 1 : 3{x-1} > 0, la courbe est au-dessus ; pour x < 1 : 3{x-1} < 0, elle est en dessous. ℹ️ Et x = 1 est par ailleurs une asymptote verticale — la fonction a donc deux asymptotes de natures différentes.

   f(x)-(x+4) = 3{x-1} 0

4. Étape 4 : L'erreur classique : Chercher une asymptote oblique quand les degrés diffèrent de 2 ou plus. Avec x^3{x-1}, la division donnerait un quotient de degré 2 — une parabole, pas une droite. Il n'y a alors pas d'asymptote oblique (la courbe s'approche d'une parabole, ce qui ne porte pas ce nom). 👉 Le test préalable : degré du haut = degré du bas +\,1. Ni plus, ni moins. À retenir : Asymptote oblique division euclidienne, et le quotient donne son équation. 👉 Et la condition d'existence est un écart de degré exactement égal à 1.