Continuité en un point

Énoncé

Soit f la fonction définie par : [formule] Déterminer la valeur de k pour que f soit continue en x = 2.

Indice : Pour que f soit continue en 2, il faut que _{x 2} f(x) = f(2) = k. Factorise le numérateur.

Correction

1. Étape 1 : La continuité en un point, définie par une égalité entre trois choses. Continuité en a : f est continue en a lorsque [formule] ce qui suppose que la limite existe et que f(a) est défini. 👉 L'image intuitive : la courbe se trace sans lever le crayon. Un trou ou un saut brisent la continuité. 👉 Ici la fonction est définie par morceaux, avec une valeur k imposée en 2. Il s'agit donc de choisir k pour boucher le trou — et il n'y a qu'un seul choix possible : la limite.
2. Étape 2 : La limite, pour x 2. Le remplacement direct donne 0{0}, on factorise donc : x^2 - 4 = (x-2)(x+2) [formule] [formule]

   _{x 2} f(x) = 4

3. Étape 3 : La condition de continuité exige f(2) = _{x 2} f(x), c'est-à-dire [formule] 👉 Et c'est la SEULE valeur qui convient. Avec k = 5, la fonction aurait un « point isolé » à (2\,;5) tandis que la courbe passerait par (2\,;4) : il y aurait un saut, donc une discontinuité. ℹ️ Ce qu'on vient de faire s'appelle un prolongement par continuité : on complète une fonction qui avait un trou, en lui donnant en ce point la seule valeur qui préserve la continuité. C'est exactement l'objet de l'exercice 29012.

   k = 4

4. Étape 4 : L'erreur classique : Calculer f(2) en remplaçant dans x^2-4{x-2}. Cette expression n'est pas définie en 2 — c'est précisément pourquoi l'énoncé donne une seconde ligne. On ne peut donc pas « calculer f(2) » : on doit le choisir, et la limite dicte ce choix. 👉 Le repère : une fonction définie par morceaux se lit morceau par morceau. La valeur en 2 est celle de la seconde ligne, pas de la première. À retenir : Continue en a _{x a} f(x) = f(a) — et la limite doit exister. 👉 Il n'y a qu'une valeur qui rend une fonction continue en un point : celle de la limite.