Limite avec forme indéterminée

Énoncé

Calculer la limite suivante : [formule]

Indice : C'est une forme indéterminée + - . Multiplie et divise par l'expression conjuguée x^2 + 1 + x.

Correction

1. Étape 1 : Une forme - avec une racine — et il n'y a qu'un seul geste pour celle-là. La quantité conjuguée : [formule] 👉 Pourquoi ça marche : l'identité (a-b)(a+b) = a^2-b^2 fait disparaître la racine, puisque ( A)^2 = A. L'indétermination se trouve levée au numérateur. ⚠️ C'est le geste de cette forme : ni la factorisation ni les croissances comparées ne s'appliquent à une racine moins un terme linéaire.
2. Étape 2 : x^2+1 - x : forme (+) - (+), indéterminée. On multiplie et divise par la conjuguée : x^2+1 - x = ({x^2+1-x)(x^2+1+x)}{x^2+1+x} Le numérateur devient (x^2+1) - x^2 = 1 : [formule] 👉 L'indétermination a disparu : le numérateur est maintenant une constante.

   x^2+1-x = 1{x^2+1+x}

3. Étape 3 : Le dénominateur tend vers + : x^2+1 + et x +, sans indétermination puisque les deux vont dans le même sens. Un numérateur constant sur un dénominateur qui explose : [formule] 👉 Le résultat mérite un regard : deux quantités qui explosent, et leur différence tend vers zéro. Autrement dit, x^2+1 devient indiscernable de x quand x grandit. Contrôle chiffré : 10001 - 100 0{,}005 ✓ — l'écart est déjà minuscule à x = 100. ℹ️ À comparer avec l'exercice 29011, où x^2+x - x tend vers 1{2} et non 0. La différence tient à un seul terme sous la racine — c'est ce qui rend ces exercices intéressants.

   = 0

4. Étape 4 : L'erreur classique : Conclure x^2+1 - x 0 « parce que x^2+1 x » sans calcul. Le résultat est juste ici, mais le raisonnement est faux — et il donne une réponse fausse en 29011, où la même approximation conduirait aussi à 0 alors que la limite est 1{2}. 👉 L'approximation ne suffit jamais sur une forme - : c'est précisément ce qu'elle néglige qu'on calcule. À retenir : Racine dans une différence quantité conjuguée. 👉 Et deux énoncés très proches peuvent avoir des limites différentes : x^2+1-x 0 mais x^2+x-x 1{2}.