Asymptote verticale

Énoncé

Soit f(x) = 1{x - 3}. 1. Déterminer l'asymptote verticale de la courbe représentative de f. 2. Déterminer les limites à gauche et à droite de cette asymptote.

Indice : L'asymptote verticale correspond à la valeur qui annule le dénominateur. Étudie le signe de x - 3 pour déterminer les limites.

Correction

  1. Étape 1 : Une asymptote verticale apparaît là où la fonction « explose » — typiquement là où un dénominateur s'annule. Asymptote verticale : Si _{x a} f(x) = , la droite x = a est asymptote verticale. ⚠️ Les deux côtés doivent être étudiés séparément, et ils donnent souvent des résultats opposés : la fonction peut partir vers + d'un côté et - de l'autre. 👉 La méthode pour trancher : regarder le signe du dénominateur quand on approche de a par la gauche, puis par la droite. C'est lui qui décide.
  2. Étape 2 : 1) f(x) = 1{x-3} : le dénominateur s'annule en x = 3, et le numérateur (qui vaut 1) ne s'y annule pas. [formule] ℹ️ La condition « le numérateur ne s'annule pas » compte : si les deux s'annulaient, on aurait une forme 0{0} — et peut-être un simple trou, comme en 29003, sans aucune asymptote.

    x = 3 asymptote verticale

  3. Étape 3 : 2) Les deux côtés, en regardant le signe de x - 3 : À gauche (x < 3, par exemple x = 2{,}9) : x - 3 < 0, donc 1{x-3} < 0, et sa valeur absolue grandit indéfiniment. [formule] À droite (x > 3, par exemple x = 3{,}1) : x - 3 > 0, donc le quotient est positif. [formule] Contrôle chiffré : f(2{,}99) = -100 et f(3{,}01) = +100 ✓ — deux comportements opposés, à distance égale du point.

    _{3^-} = - \ ; _{3^+} = +

  4. Étape 4 : L'erreur classique : Annoncer une seule limite en 3, ou écrire « _{x 3} f(x) = ». Les deux côtés donnent des résultats opposés, donc il n'y a pas de limite en 3 tout court — il y a deux limites unilatérales. Écrire une seule limite masque exactement l'information intéressante. 👉 Le geste qui tranche : tester une valeur proche de chaque côté (2{,}99 et 3{,}01) et regarder le signe. À retenir : Asymptote verticale toujours étudier les deux côtés séparément. 👉 Et c'est le signe du dénominateur qui décide, pas sa valeur absolue.