Asymptote horizontale

Énoncé

Soit f(x) = 3x - 1{x + 2}. 1. Déterminer l'asymptote horizontale de la courbe représentative de f. 2. Déterminer la position de la courbe par rapport à cette asymptote.

Indice : Pour la question 1, calcule la limite en +. Pour la question 2, étudie le signe de f(x) - L où L est la limite.

Correction

1. Étape 1 : **1)** On calcule la limite en + en factorisant par x.

   _{x +} 3x - 1{x + 2} = _{x +} x(3 - {1{x})}{x(1 + 2{x})} = 3{1} = 3

2. Étape 2 : La droite y = 3 est une asymptote horizontale.
3. Étape 3 : **2)** On calcule f(x) - 3 pour déterminer la position.

   f(x) - 3 = 3x - 1{x + 2} - 3 = 3x - 1 - 3(x + 2){x + 2} = 3x - 1 - 3x - 6{x + 2} = -7{x + 2}

4. Étape 4 : Pour x > -2 (donc pour x grand), on a x + 2 > 0, donc f(x) - 3 < 0. La courbe est **en-dessous** de l'asymptote.