Asymptote horizontale

Énoncé

Soit f(x) = 3x - 1{x + 2}. 1. Déterminer l'asymptote horizontale de la courbe représentative de f. 2. Déterminer la position de la courbe par rapport à cette asymptote.

Indice : Pour la question 1, calcule la limite en +. Pour la question 2, étudie le signe de f(x) - L où L est la limite.

Correction

1. Étape 1 : Une asymptote horizontale est une droite dont la courbe se rapproche indéfiniment quand x part à l'infini. Asymptote horizontale : Si _{x } f(x) = (fini), la droite y = est asymptote horizontale. 👉 La position se lit sur le signe de la différence f(x) - : positif la courbe est au-dessus ; négatif en dessous. ⚠️ Et il faut le préciser de chaque côté : une courbe peut être au-dessus en + et en dessous en -.
2. Étape 2 : 1) On factorise par x : 3x-1{x+2} = x(3-{1{x})}{x(1+2{x})} = 3-{1{x}}{1+2{x}} [formule] [formule] ℹ️ Le même calcul en - donne aussi 3 : l'asymptote vaut des deux côtés.

   y = 3 asymptote horizontale

3. Étape 3 : 2) La position. On calcule la différence, en mettant au même dénominateur : f(x) - 3 = 3x-1{x+2} - 3 = 3x-1 - 3(x+2){x+2} ⚠️ Attention à distribuer le -3 sur les DEUX termes : -3(x+2) = -3x - 6. = 3x - 1 - 3x - 6{x+2} = -7{x+2} [formule] 👉 Le numérateur est constant, ce qui rend le signe très facile à lire : il dépend uniquement de celui de x+2.

   f(x) - 3 = -7{x+2}

4. Étape 4 : La lecture du signe : pour x > -2 : x+2 > 0, donc f(x) - 3 < 0 la courbe est EN DESSOUS pour x < -2 : x+2 < 0, donc f(x) - 3 > 0 la courbe est AU-DESSUS 👉 En +, la courbe est donc sous l'asymptote ; en -, au-dessus. Les deux réponses diffèrent, et c'est le cas général — il faut donc traiter les deux côtés. Contrôle numérique : f(100) = 299{102} 2{,}93 < 3 ✓ et f(-100) = -301{-98} 3{,}07 > 3 ✓

   en dessous en +, au-dessus en -

5. Étape 5 : L'erreur classique : Oublier de distribuer le signe moins dans -3(x+2). En écrivant 3x - 1 - 3x + 6, on obtiendrait 5{x+2} — donc une position inversée. Le contrôle numérique le démasque : f(100) 2{,}93, qui est bien inférieur à 3. À retenir : Asymptote horizontale = limite finie en l'infini ; position = signe de f(x) - . 👉 Et traiter les deux côtés : la position peut s'inverser d'un infini à l'autre.